- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
ся балка. Чем больше ее кривизна, тем больше наклоняются се чения и тем меньше радиус кривизны. Но для каждого отдельно го сечения радиус кривизны остается постоянным при вычисле нии удлинения любого волокна. Удлинение волокон по высоте сечения изменяется пропорционально только расстоянию у от нейтрального слоя, и все волокна одного слоя, параллельного нейтральному, удлиняются од каково. Умножая ε на модуль упругости Е, получаем нормальное напряжение при изгибе балки:
σ = Ε ε = Ε ~ . |
(1) |
Р
Из уравнения (1) следует, что нормальное напряжение σ изменяется по высоте сечения также пропорционально у (т. е.
б)
Фиг. 9.6. Нормальные напряжения при изгибе.
а—распределение нормальны* напряжений по поперечному сечению; б— эпюра нормальных напряжений.
по |
линейному |
закону). Толокна, одинаково удаленные |
от |
нейтрального |
слоя, испытывают одинаковые напряжения |
(фиг. 9.6,а). В нижней части сечения, на выпуклой стороне бал ки, напряжения растягивающие; при переходе в верхнюю, вогну тую часть расстояние у меняет знак на обратный, а напряжения становятся сжимающими. В нейтральном слое (при у = 0) нор мальные напряжения равны нулю. Закон изменения σ по высоте сечения балки изображается при помощи эпюры нормальных на-
пряжений |
(фиг. 9.6,6), ординаты |
которой |
отложены |
в |
пло |
||
скости |
симметрии |
перпендикулярно |
сечению |
и равны |
величи |
||
нам <з |
для |
соответствующих слоев. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. Вычисление нормальных напряжений |
|
|
|||
Установленная |
в предыдущем |
параграфе зависимость |
(1) |
не дает еще возможности определить величину нормальных на пряжений. Необходимо, во-первых, найти положение нейтраль-
255
ного слоя, от которого измеряется расстояние у, во-вторых, опре делить радиус кривизны оси балки. Это возможно сделать, вос
пользовавшись условиями |
равновесия |
отсеченной части балки, |
к которой с одной стороны |
приложена |
нагрузка в виде момен |
та М, а с другой — нормальные напряжения σ, вызванные этой
нагрузкой (фиг. 9. 6) |
и представляющие собой внутренние силы |
взаимодействия между оставшейся и отброшенной частью. |
|
Н е й т р а л ь н а я |
л и н и я . Изобразим левую остающуюся |
часть балки (фиг. 9. |
7). По условию, принятому в главе VIII |
(фиг. 8.5), направим вдоль оси балки ось х, вверх — ось у, а по нейтральной линии — ось ζ. На фиг. 9. 7 изображена балка пря-
Фиг. 9.7. Отсеченная часть балки прямоугольного сече ния. Составление условий равновесия для определения положения нейтральной линии и кривизны балки.
моугольного сечения. Еообще говоря, сечение может быть лю бым, имеющим ось симметрии в плоскости изгиба.
В произвольном слое, взятом на расстоянии у параллельно
нейтральному, возникают одинаковые нормальные напряжения
β
а = — у. На очень малую площадку сечения, которую обозна-
Р
чим A F, приходится малая продольная сила c A f . Напишем уравнение проекций на ось х всех сил, действующих на рассмат риваемую часть балки. Момент М дает проекцию, равную нулю, а силы a AF проектируются на ось х в натуральную величину. Чтобы получить сумму этих проекций, нужно сложить все силы, приходящиеся на элементарные площадки всего данного сече ния Г Х= У с \F= 0. Отсюда следует, что сумма сжимающих сил должна равняться сумме растягивающих сил. Подставляя в уравнение равновесия вместо нормальных напряжений о их зна чения по формуле (1), получаем
У - ^ / - = - y w = o .
^ |
f |
Р |
^ |
Е |
|
|
как общий множитель. Так |
Здесь — вынесено за знак суммы |
р
как множитель__для изогнутой балки не равен нулю, то должна
Р
равняться нулю сумма произведений элементарных площадок
256
всего сечения на их расстояния до нейтральной линии, ^г/Д/^О. Полученная сумма представляет собой статический момент пло щади сечения относительно нейтральной линии. Известно, что статический момент площади равняется нулю только относительно той оси, которая проходит через центр тяжести [см. формулу (96), гл. I, § 5]. <Следовательно, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Только в этом случае равнодей ствующая сжимающих напряжет у расположенных выше ней трального слоя, будет равна равнодействующей растягиваю щих напряжений. Нейтральный слой делит балку на две равно весные части и совпадает с осью балки. Таким образом поло жение нейтральной линии найдено. Она проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно к плоскости симметрии балки. Расстояние у нужно измерять от центра тяжести сечения (фиг. 9.7). Нейтральную линию, проходящую через центр тя
жести сечения, называют нейтральной осью. |
|
||
К р и в и з н а |
б а л к и . Величина напряжения зависит также |
||
и от радиуса кривизны. |
Чтобы его определить, напишем еще |
||
одно уравнение равновесия для рассматриваемой |
части балки, |
||
а именно, уравнение |
моментов относительно |
нейтральной |
|
оси Οζ. Малая |
сила σΔ/7 относительно этой оси |
дает момент |
|
yabF (фиг. 9.7). Чтобы |
получить момент всех внутренних сил, |
сложим моменты сил σΔ/7, распределенных по всему сечению Σί/οΔ/7 (фиг. 9. 6,а). Момент сил, заменяющих действие отбро шенной части на остающуюся, взятый относительно централь ной оси, является изгибающим моментом в данном сечении; он здесь действует против часовой стрелки. Внешний момент М дей ствует по часовой стрелке. Условие равновесия требует, чтобы алгебраическая сумма моментов внешних и внутренних сил, приложенных к любой части балки, равнялась нулю, т. е.
ΣΜζ=Μ —'Σρ а ДК=О,
откуда, подставляя |
о по формуле (1) и вынося постоянный мно- |
|
Е |
|
|
житель — за знак суммы, находим |
|
|
р |
F |
F |
M = 'Zy — ybF = — Zy*bF.
рР
Сумма произведений элементарных площадок hF на квадра ты их расстояний до какой-либо оси z, взятая для всего сечения, называется осевым моментом инерции площади относительно этой оси:
|
J ,= Zy*bF. |
|
|
(2) |
|
Принимая во внимание это обозначение, можно написать, |
|||||
что |
|
1 |
|
|
|
Л/Г |
E J Z |
М |
|
/ о \ |
|
М = |
— ~ ИЛИ |
---- = |
------· . |
|
(3 ) |
|
Р |
Р |
EJ, |
кривизны |
перво |
Выше, в § 2, мы выразили через |
радиус |
||||
начальную длину Δχ выделенного элемента |
после его |
дефор- |
17 Основы строительной механики |
257 |
мации (фиг. 9.5): Δχ = ρΔΘ. Учитывая формулу (3), отсюда получаем угол поворота двух смежных сечений балки друг относительно друга вследствие изгиба
Δ0 = — = — λ:. |
(3') |
РEJZ
Величина— .обратная радиусу кривизны, называется кривиз-
р
ной балки. Она пропорциональна изгибающему моменту М и обратно пропорциональна произведению модуля упругости Е на момент инерции J~. В балке с большим значением £7* кривиз на получается маленькой, а радиус кривизны большой: попереч ные сечения наклоняются друг к другу на малый угол 0. Изо гнуть такую балку трудно: она является жесткой. Наоборот,
вбалке с малым значением EJZ кривизна получается большой; балка легко гнется. Произведение EJ- называется жесткостью на изгиб. Чем оно больше, тем жестче балка. Осевой момент инер ции, как видно из обозначения (2), измеряется в единицах длины
вчетвертой степени: длина н квадрате умножается на площадь. Он зависит от размеров и от формы сечения, ьеличина момента инерции характеризует способность балки сопротивляться ис кривлению в зависимости от размеров и формы поперечного сече ния. Модуль упругости Е характеризует ту же способность в за висимости только от материала.
Н о р м а л ь н ы е н а п р я ж е н и я . Выяснив зависимость кривизны балки от изгибающего момента и от ее жесткости, мы теперь можем вернуться к нормальным напряжениям и написать окончательную формулу для их вычисления. Из выражения (3)
следует, что— = — . Подставляя это значение в найденную ранее
РJz
зависимость (1), получаем окончательную формулу нормальных напряжений
о = -— у. |
(4) |
JZ |
|
Нормальное напряжение в точке сечения на расстоянии у от нейтральной линии равно изгибающему моменту, умноженному на у и деленному на момент инерции сечения относительно ней тральной оси. Наибольшие нормальные напряжения в данном сечении возникают в точках, которые наиболее удалены от ней
трального слоя (фиг. 9. 6,а и б): |
_ _м_ |
|
_ |
М |
|
атах |
, Уаіах |
, |
|
J z |
J z |
У max
Отношение осевого момента инерции к расстоянию до край них точек называется моментом сопротивления сечения изгибу и
обозначается
ѴУг= -У*~. (5)
Ушах
258
Окончательно максимальные нормальные напряжения, воз никающие в крайних точках сечения, равны
М
(6)
Момент сопротивления W~ характеризует способность балки сопротивляться изгибу. Чем он больше, тем меньше напряжения при данной нагрузке и тем большую нагрузку выдерживает бал ка. Момент сопротивления имеет размерность см3 и зависит от размеров и формы сечения.
Воспользовавшись двумя уравнения-л равновесия ΣΧ=0 и ΣΜζ—0, мы нашли положение нейтральной линии и получили формулу нормальных напряжений при чистом изгибе балки си лами, действующими в плоскости симметрии. Так как нормаль ные напряжения возникают только в связи с возникновением из гибающего момента и не зависят от поперечной силы, то фор мулу (4) можно применять и к тем случаям, когда в балке, помимо изгибающего момента, имеется еще и поперечная сила Q (вызывающая только касательные напряжения). Кроме того, тре бование, чтобы нагрузка была расположена в плоскости симмет рии, тоже не является обязательным. Формулу (4) можно при менять и к таким балкам, которые вообще не имеют ни одной оси симметрии сечения, если при этом соблюдаются некоторые определенные условия расположения нагрузки. Рассмотрим эти условия.
Г л а в н ы е оси с |
е ч е н и я . |
Составим условие равновесия |
отсеченной части балки |
(фиг. 9. 7) |
в виде суммы моментов отно |
сительно вертикальной оси у всех сил, приложенных к этой части, внешняя нагрузка, расположенная в плоскости симметрии хОу, никаких моментов относительно оси у не создает. Но каждая внутренняя сила e±F дает момент, равный z a \F . Складываем их для всего сечения и составляем относительно оси у уравнение моментов всех сил: ΣΜυ= Τ.ζα ΔΓ=0. Отсюда получается, что нормальные напряжения, распределенные по левой половине се чения, в сумме должны давать такой же по величине момент, как и напряжения правой половины, но направление этих момен тов должно быть взаимно противоположным. Подставим в урав нение моментов величину σ по формуле (1):
ЕЕ
Как и ранее, — не равно нулю, следовательно, |
0. |
Р
Полученная таким путем сумма произведений элементарных площадок / 7 на их расстояния до осей у и ζ, взятая для всего сечения, называется центробежным моментом инерции площади сечения относительно осей у и ζ:
Jyz = ^ z y \F . |
(7) |
17* |
259 |
Для равновесия балки необходимо, чтобы равнялся нулю центробежный момент инерции относительно осей у и z, из кото рых одна совпадает с плоскостью нагрузки. В симметричной бал ке, нагруженной в плоскости симметрии, это условие соблюдается всегда, потому что для каждой площадки LF, расположенной слева от оси симметрии у (фиг. 9. 8,а), обязательно имеется сим метрично расположенная площадка той же величины справа от оси у. Расстояния у от оси z для этих площадок одинаковы по величине и по знаку, но расстояния z от оси симметрии одина ковы только по величине и всегда обратны по знаку. В выраже
|
ние |
'SzykF |
войдут |
произве |
|||
|
дения с одинаковыми знака |
||||||
|
ми, |
положительные |
и такое |
||||
|
же |
количество соответствен |
|||||
|
но |
равных |
произведений с |
||||
|
разными |
знаками, |
отрица |
||||
|
тельных. |
Вся сумма |
будет |
||||
|
состоять из двух частей, рав |
||||||
|
ных по величине и противо |
||||||
|
положных по знаку, т. е. она |
||||||
|
обратится в нуль. Таким об |
||||||
|
разом если хотя бы одна из |
||||||
Фиг. 9.8. Главные оси сечения. |
взаимно |
перпендикулярных |
|||||
осей является осью симмет |
|||||||
а — сечение симметрично относительно |
|||||||
рии сечения |
(фиг. 9. 8,а), то |
||||||
оси у, центробежный момент инерции |
центробежный момент инер |
||||||
JyZ равен нулю; 6 — главные оси несим |
|||||||
метричного сечения. |
ции |
относительно этих |
осей |
||||
|
равняется |
нулю. Оказывает |
ся, что центробежный момент инерции может равняться нулю не только для симметричных сечений. Вообще для всякого попереч ного сечения можно найти такие оси у и z, относительно кото рых Jy~ обратится в нуль, например, оси у и z для сечения, изо браженного на фиг. 9. 8,6.
Взаимно перпендикулярные оси, относительно которых цен тробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции сечения. Если плоскость нагрузки совпадает с одной из главных осей, например, с осью у (фиг. 9. 8,6), то вто рая главная ось, перпендикулярная первой и проходящая через центр тяжести, совпадает с нейтральной 'осью сечения. В этом случае соблюдаются все три условия равновесия; и к балке та кого сечения можно применять формулу нормальных напряже ний (4), измеряя расстояния у перпендикулярно нейтральной линии (фиг. 9.8,6). Взаимно перпендикулярные плоскости, в ко торых лежат главные оси инерции всех сечений, называются главными плоскостями балки. Требование относительно симмет ричности расположения нагрузки можно теперь заменить требо: ванием, чтобы нагрузка была приложена в одной из главных плоскостей. Всякая плоскость симметрии является главной пло-
260