- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Внутренний диаметр муфты берем равным внешнему диаметру трубы £> = 3,0 см. Из формулы для площади сечения F2 — = ^ _ (D 2 -D S) находим внешний диаметр муфты
£>2 = I f 4-% + D ' = y ^ 4f f + 3,0* =3,45 см.
Муфту нужно сделать из трубы 35x30 мм.
Задачи. 1. По данным примера 3 определить, какой предель ный допускаемый груз может выдержать кронштейн. Ответ: 1160 кг.
2. Поврежденную трубу в примере 4 необходимо отремонт ровать бужем (внутренней вставкой), взяв внешний диаметр бу жа равным внутреннему диаметру Ь у трубы. Найти внутренний диаметр £)2 бужа, если допускаемое напряжение для него [σ]2= =700 кг/см^. Ответ: £)2=,2,09 см.
§ 2. Деформация призматического стержня
Опыты показывают, что при растяжении длина стержня уве личивается, а поперечные размеры уменьшаются. У резинового стержня эта деформация получается настолько большой, что она ясно видна невооруженным глазом. Деформацию при растяже-
Фиг. 3.5. При растяжении стержня его длина уве личивается, а поперечные размеры уменьшаются.
нии металлических стержней можно заметить путем измерения специальными приборами. Пусть первоначальная длина стержня равна I (фиг. 3.5), а длина после деформации растяжения Один из поперечных размеров стержня до деформации обозна чим через а и после деформации аг. Приращение длины стержня вследствие деформации растяжения \1= Іг—/ называется абсо лютным удлинением. Изменение поперечных размеров Д а=
= а —аі называется абсолютным поперечным сужением. Величи ны дI и На зависят от размеров стержня, первая от длины, а вто рая от поперечного размера. Они характеризуют деформацию данного стержня. Отношение абсолютного удлинения к первона чальной длине стержня называется относительным удлинением. Обозначим относительное удлинение через г. Тогда по определе
нию ε = — . Это отвлеченная величина, независящая от разме-
. |
Δα |
относи- |
ров стержня. Аналогично величина |
ъг= — называется |
|
|
а |
|
тельным поперечным сужением. Опытом установлено, что отно шение з, к ε имеет для каждого материала постоянное зна чение
£і
Ѵ- = ε (4)
Назовем величину μ коэффициентом поперечной деформа ции !. Он связывает поперечную деформацию с продольной де формацией при одноосном растяжении (или сжатии). Коэффи циент μ определяют из опытов на растяжение или сжатие путем измерения продольной и поперечной деформации при одной и той же нагрузке.
Значения коэффициента μ для некоторых материалов
С т а л ь ................... |
0 ,2 5 -0 ,3 |
Пробка . . . . |
0,00 |
Дуралюмин . . . . |
0,32—0,36 |
Ф а н е р а .......... |
0,07 |
М едь....................... |
0,31—0,34 |
Целлулоид . . . . |
0,39 |
Свинец................... |
0,45 |
Каучук . . . · |
. 0,47 |
З а в и с и м о с т ь м е ж д у н а п р я ж е н и е м и д е ф о р м а ц и е й . Растягивая или сжимая стержень, легко обнаружить, что с увеличением силы N абсолютное удлинение стержня увели чивается. При одинаковой нагрузке у длинных стержней оно больше, чем у коротких. У стержней с одинаковой длиной и с различной площадью поперечного сечения абсолютное удлине ние тем меньше, чем больше площадь F. Опытами установлено, что в определенных границах нагрузки абсолютное удлинение
ΛI прямо пропорционально растягивающему усилию N и длине I стержня и обратно пропорционально площади F поперечного се чения:
М = N i |
(5 ) |
E F |
|
Здесь - - является коэффициентом пропорциональности. Величи
на Е называется модулем упругости при растяжении (сжатии) или модулем продольной упругости. Он характеризует способ ность данного материала деформироваться под действием нагруз ки. Деля обе части равенства (5) на первоначальную длину I, по-
N
лучаем относительное удлинение з = — .
1 Коэффициент μ называют коэффициентом Пуассона.
73
Произведение EF называется жесткостью стержня при ра стяжении и сжатии. Чем больше это произведение, тем меньше деформация, тем более жестким является данный стержень. Подставляя в выражение относительной деформации значение
σ = преобразуем формулу (5) к виду
σ =Е ε, |
(6) |
который выражает в наиболее простой форме закон пропорцио нальности ‘. Этот закон, как указывалось, справедлив только в определенных пределах, о чем подробнее сказано ниже.
Модуль упругости имеет такую же размерность, как и напря жение [кг/см2], так как величина ε безразмерна. Значение моду ля Е определяется опытным путем.
Модуль упругости Е некоторых материалов |
||
|
кг/см 2 |
|
Сталь 3 ...................... |
|
2·ІО»—2,1-106 |
Дуралюмин............................. |
|
7 -ІО5 |
Медь, бронза, |
латунь · |
. . . Ы 0 б |
Ч у г у н ....................... |
1,15-106-1,6-108 |
|
Дерево вдоль |
волокон . |
. . . 105 |
Пример 1. Стальная труба, имеющая длину / = 2 д и площадь поперечного сечения F—2 см2, растянута силой N=2 т. Опреде лить абсолютное и относительное удлинения трубы.
Полагая модуль упругости £ = 2 -1 0 6 кг/см2, находим абсо лютное удлинение" по закону пропорциональности:
, , N1 |
2000-200 |
= 0,1 СМ. |
АІ = —· = |
--------------2 000 000-2 |
|
EF |
|
Относительное удлинение ε= -у-= — = 0,0005.
Следует обратить внимание на то, что абсолютные и относитель ные деформации очень малы.
Пример 2. Груз Р=8660 кг подвешен на двух одинаковых стальных стержнях 1 и 2 (фиг. 3.6). Дано: высота h —2 м, угол
"а = 30°, допускаемое напряжение |
[σ]=1000 кг/см2. |
Необходи |
мо: 1) подобрать площади сечений стержней и 2) |
определить |
|
опускание S узла А под действием |
груза. |
|
Вырезая узел А (фиг. 3. 6,6) и рассматривая его равновесие, получаем два уравнения проекций:
N t sin а—УѴ2 sin α= 0,
cos α + Ν 2 COS α — Ρ = 0.
1 Закон пропорциональности, выражаемый формулой (5), был установ лен в 1678 г. Р. Гуком и называется законом Гука.
74
Отсюда находим
|
N , = N ^ - |
|
8660 |
|
:5000 кг. |
|
||
|
2 cosa |
2-0,866 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
Необходимая площадь сечения стержня |
|
|
||||||
|
|
с- |
N |
5000 |
_ |
, |
|
|
|
|
F = |
— = |
-----= |
5 |
с м 2 |
|
|
Длина стержня |
|
Μ |
1000 |
|
|
|
|
|
|
1 _ |
h |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Каждый стержень удлинится на |
|
|
|
|
||||
А1-. |
Nl |
Nh |
|
5000-200 |
= 0,115 |
см. |
||
EF |
EF cosa |
|
|
|
|
|||
|
2000 000-0,866-5 |
|
||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
В) |
|
Фиг. 3.6. Пример расчета двухстержневого узла.
а — груз Р удерживается |
тягами |
1 и 2\ б — усилия тяг |
одинаковы; |
в — перемещение |
узла в |
результате деформации |
тяг. |
В результате удлинения стержней узел А опустится в по ложение А 1 (фиг. 3.6, б). Так как удлинения малы, можно принять, что: 1) новый угол между стержнями равен первона чальному а и 2) удлинения стержней АІ равны отрезкам AtB, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из точки А на новые положения стержней. Из треугольника ААХВ находим
о — — —— = s -------- — Ο ,ΐοο см , cosa 0,866
Задача 1. Брус АВ подвешен на двух одинаковых стержнях / и 2 (фиг. 3. 7) и нагружен силой Р=2> т. Дано: а= 2 м, 6= 1 м. длина стержней 1=1 м, допускаемое напряжение для стержней
75