- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Даже в двутавровых балках напряжения τ получаются сравни тельно малыми и незначительно влияют на прочность. Толь ко для очень коротких балок, когда изгибающий момент по лучается небольшим, а поперечная сила велика, касатель ные напряжения имеют значительную величину по сравне нию с нормальными.
Задачи. 1. Консоль круглого сечения диаметром d изгибает ся силой Р, приложенной на свободном конце. Во сколько раз t длина консоли / должна быть больше диаметра d, чтобы наиболь ш ие касательные напряжения составили 10% от наибольших нор мальных напряжений опорного сечения? Ответ: 1=Ы.
2. Построить эпюру касательных напряжений по высоте бал ки прямоугольного сечения b'X.h—6X24 см от поперечной силы Q= 2000 кг. Ординаты эпюры вычислить в точках на расстоянии у= 12; 8; 4 и 0 см от нейтрального слоя.
Ответ: Tj,= 12= 0 ; |
ту=8 = |
1 1 ,6 ; % ,= 4 = 1 8 , 5 и т у= 0 = |
2 0 , 8 кг/см2. |
§ 9. |
Расчет на прочность при изгибе |
|
|
Брусья, находящиеся |
в условиях изгиба, считаются доста- |
||
. точно прочными, если от |
заданной нагрузки ни |
в одной точке |
самого опасного сечения не возникают напряжения, превосходя щие допускаемые. Так как нормальные напряжения при попе речном изгибе почти всегда значительно превосходят по вели чине касательные напряжения, то прочность балки зависит глав ным образом от первых. В расчете на прочность при изгибе не обходимо исходить из нормальных напряжений, которые имеют наибольшую величину в самых удаленных от нейтральной оси точках (фиг. 9 . 6 и 9 . 2 β ) . В случае балки постоянного сечения опасным сечением будет то, в котором изгибающий момент имеет наибольшее значение. Вычислив в этом сечении напряже ния, нужно убедиться, что они не превосходят допускаемого на пряжения. Условие прочности имеет вид
= |
(21) |
Наибольшие нормальные напряжения не должны быть боль ше допускаемого, о применении условия прочности различает ся несколько случаев. Чаще всего встречается случай, когда ма териал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию; допу скаемые напряжения для обоих видов деформации волокон рав ны между собой [ораСТ]= [осж]=[о]. В случае сечения, симметрич ного относительно нейтральной оси, безразлично, на каком краю, растянутом или сжатом, проверяется прочность материала, пото му что напряжения получаются одинаковые для обоих краев сечения. При несимметричном сечении в условие прочности нужно подставлять меньший из моментов сопротивления W, и W2, который относится к более удаленному волокну, потому
294
что там напряжение будет больше. Наконец, в том случае, когда материал различно сопротивляется растяжению и сжатию, вместо одного условия прочности применяются два условия — одно для растянутых, а второе — для сжатых волокон:
°раст ур, ^ [Зраст] > а сж [°сж] ·
В симметричном сечении расчет производится по меньшему допускаемому напряжению, а в несимметричном нужно проч ность проверять по обоим условиям одновременно. Для проверки прочности необходимо предварительно знать величину допускае мых напряжений данного материала. Так как при изгибе про дольные волокна подвергаются простому растяжению и сжа тию, то и допускаемые напряжения принимаются одинаковыми с допускаемыми напряжениями на растяжение и сжатие. Напри мер, по расчетным строительным нормам для обыкновенной стали [о]= 1400 кг/см2, для сосны [σ]= 100 кг/см2 и т. д.
По поводу касательных напряжений следует отметить, что хотя они редко достигают величины, непосредственно угрожаю щей прочности конструкции, проверять их все же необходимо, особенно в коротких балках и в конструкциях с тонкими стен ками, имеющих сравнительно небольшую ширину сечения на уровне нейтрального слоя. Кроме того, касательные напряже ния необходимо знать для расчета соединительных элементов составных балок, о чем будет сказано ниже. Допускаемое ка сательное напряжение принимается как некоторая доля нор мального. Чаще всего берут [х]=0,6 [о] или [τ] = 0,8 [с]. В рас
чете на прочность встречаются три вида задач, |
в зависимости |
от того, какие величины являются заданными. |
размеры бал |
П р о в е р к а п р о ч н о с т и . Даны нагрузка, |
ки, ее поперечное сечение и материал. Вычисляют наибольший изгибающий момент М и момент сопротивления сечения W\ за
тем находят |
действительные напряжения а |
и сравнивают их |
с допускаемыми. |
или наибольший |
|
П о д б о р |
с е ч е н и я . Известны нагрузка |
изгибающий момент М и допускаемое напряжение. Находят мо мент сопротивления W, требуемый по условий прочности; выби рают форму сечения и определяют его размеры в зависимости от найденной величины W.
Г р у з о п о д ъ е м н о с т ь . Известны материал, поперечное сечение, размеры балки и характер нагрузки. Устанавливают допускаемое напряжение и вычисляют момент сопротивления. По условию прочности находят наибольший изгибающий мо мент и наибольшую нагрузку, которую может выдержать балка. Ниже дано несколько примеров расчета на прочность.
Пример 1. Балка на двух опорах с консолью изготовлена из чугунной отливки таврового сечения, расположенного полкой
295
вниз (фиг. 9.31). Проверить прочность балки, если она нагру жена силой Р=800 кг, направленной вверх, на конце консоли длиной а=20 см. Допускаемое напряжение чугуна на сжатие 1200 кг/см2 и на растяжение 350 кг!см2.
Наибольший изгибающий момент возникает на левой опоре (фиг. 9.31,а): М = Ра —800-0,2 = 160 кгм.
Для |
определения центра тяжести |
сечения разбиваем его |
|
на два |
прямоугольника; |
вычисляем статический момент пло |
|
щади сечения, например, |
относительно |
нижнего края сечения |
а— эпюра изгибающих |
моментов; б— размеры поперечного сечения |
|||
|
и эпюра напряжений. |
|||
5 = 4-2-4 + 8-2-1 =48 см3, |
||||
и делим его на всю площадь |
|
|||
V = |
5 |
' |
48 |
0 |
— |
~ |
--------------- = 2 СМ. |
||
|
F |
|
4-2+8-2 |
|
Нейтральная ось проходит в данном случае как раз по верх нему краю полки тавра (фиг. 9.31,6). Вычисляем момент инерции сечения относительно этой оси:
Ѵ= —- + 2·4·2* + — + 8-2-Р = 64 см*. |
|
12 |
12 |
Момент сопротивления для крайних верхних· точек (фигу-
f i l |
Я 4 |
ра 9.31,б) будет W1 —— = 16 см'3, для нижних ΙΓ2 = — = 32 см3.
Напряжения сжатия возникают в верхнем краю; они равны
σ |
сж |
= =1000+1200< 1 2 0 0 |
кг/см2. |
|||
|
|
16 |
|
|
|
|
Напряжения растяжения |
на |
нишжнем краю |
||||
|
раст |
16 000 |
500 > 350 |
KzjcM2. |
||
|
32 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Растягивающие |
напряжения |
превосходят допускаемое на |
||||
|
|
|
500 |
350 100 = 42,8%. |
||
Сечение необходимо |
350 |
|
обеспечить назначен |
|||
увеличить, чтобы |
||||||
ный запас прочности балки; |
сжимающие напряжения значи |
|||||
тельно меньше |
допускаемых. |
|
296
Пример 2. Деревянная балка на двух опорах нагружена дву мя силами Р=500 кг, приложенными симметрично на расстоянии а —0,7 м от опор, как показано на фиг. 8. 22. Подобрать прямо угольное поперечное сечение балки с отношением высоты к ши-
Л о рине — = 3.
Дерево различно сопротивляется растяжению и сжатию, при этом поведение сжатых волокон в балке несколько иное, чем в сжатом брусе. Последнее обстоятельство привело к созданию ряда теорий расчета деревянных балок. В качестве первого приближения можно производить расчет в предполо жении, что и сжатые и растянутые волокна одинаково хоро шо сопротивляются, и принимать допускаемое напряжение на изгиб равным среднему значению допускаемых напряже ний растяжения и сжатия. С учетом этого замечания при расчете заданной балки допускаемое напряжение на изгиб при нято равным 100 кг/см2. Наибольший изгибающий момент будет в средней части балки: М == Ра = 500-70 = 35 000кгсм. Необходи мый по условию прочности момент сопротивления должен быть
W= |
М |
ЗіООО |
=350 см3 |
|
|
|
|
||
|
Μ |
100 |
|
|
|
bh* |
Под |
||
Для прямоугольника по формуле (9) он равен |
|||||||||
|
|
||||||||
ставляя сюда заданное |
соотношение Ь= — |
и требуемую ве- |
|||||||
личину W, имеем |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
350 < лз_ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Окончательно находим |
|
Д - 6 ' |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Λ > /3 ·6 ·3 5 0 « |
\&,Ьсм |
|
|
|
|
|
|||
Ширина сечения должна |
быть b ^ |
18,5 |
=6,2 см. |
|
|
|
|||
|
|
|
1 £ * 4 ; |
N-6 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 GSTJ |
|
|
|
|
||
|
|
|
Фиг. 9.32. К определе |
|
|||||
|
|
|
нию |
допускаемой |
на |
|
|||
|
|
|
грузки при условии рав- |
|
|||||
|
|
|
нопрочности сечений |
|
|||||
|
|
|
|
А |
и С. |
|
|
|
Пример 3. Определить наибольшую величину сил Ρλ и Р2, которыми безопасно можно нагрузить балку, составленную из
297
двух бульбшвеллеров № 6 (фиг. 9.32), при условии чтобы ее прочность в сечении на опоре А и под силой Р2 была одинаковой. Допускаемое напряжение дуралюмина задано 800 кг/см2.
Наибольший изгибающий момент, который может безопасно выдержать балка, равен M=[a]W. Находим момент сопротив ления двух бульбшвеллеров по табл. 8 настоящей главы и вы числяем Λί=800 -2 - 10,14=16 200 кгсм. Требование равнопроч ное™ в сечениях Л и С равносильно условию равенства изги бающих моментов в этих сечениях. Чтобы найти силы и Р2, строим эпюру Мсу„ (фиг. 9.32) и подставляем значение изги бающих моментов в условие равнопрочное™.·
|
4 |
2 |
|
откуда — Ρχα |
Принимая |
во внимание, что а = ~ - = |
|
|
|
I |
Р |
= 30 см, находим соотношение между силами Ρχ —Р2—= — . |
|||
|
|
ба |
2 |
Их величину определяем из условия прочности сечения А
= — = 16 200 = 540 кг, тогда Р, = 2£\ = 1080 кг.
а30
Пример 4. Бомбодержатель прикреплен к балке пролетом /=120 см в точках С и D и несет бомбу весом G=1000 кг (фиг. 9.33). Подобрать сечение балки бомбодержателя из двух
Фиг. 9.33. Схема расположения бомбы и бомбодержа теля на балке АВ.
стальных швеллеров, если принять, что в криволинейном полете нагрузка увеличивается в четыре раза и допускаемое напряже ние стали [о] = 2000 кг/см2.
Для решения поставленной задачи умножим вес бомбы на коэффициент перегрузки η и от силы nG определим опорные ре акции балки бомбодержателя:
, |
4G-0.5 |
4-1000-0,5 |
1ССС |
D |
4000-0,7 |
0 0 0 . |
кг- |
/4 = |
----------= ---------- 1— = |
1666кг: |
В = |
---------- =2334 |
|||
|
1,2 |
1,2 |
|
|
1,2 |
сечении D |
|
Наибольший |
изгибающий момент |
получается в |
|||||
|
|
MD= 5-0,3 = 2334 -0,3 = 700 кгм. |
|
|
298