§ 4. Напряжения при кручении

К а с а т е л ь н ы е н а п р я ж е н и я в п о п е р е ч н о м се ­ чении. Теперь можно обратиться к выводу формул для каса­ тельных напряжений. Вернемся к выражению (1)

τρ = G — р = Οθρ

Δχ

и подставим в него найденный нами погонный угол закручи­ вания по формуле (3). Тогда для касательных напряжений получаем

Здесь отношение — постоянно для данного сечения, а рас-

Jp

стояние р от центра переменно. В центре касательные напря­ жения равны нулю. В остальных точках сечения они тем больше, чем дальше от центра расположена точка (фиг. 6.5, в).

Наибольшей величины касательные напряжения достигают в крайних точках сечения, наиболее удаленных от центра, для которых р = ртІХ= Л и, следовательно,

Эту формулу можно переписать в следующем виде:

Здесь знаменатель имеет определенное значение и его обычно обозначают

(7)

Частное от деления полярного момента инерции на наружный радиус сечения называется моментом сопротивления кручению круглого сечения.

Принимая во внимание обозначение (7), получаем, что

Наибольшие касательные напряжения при кручении равны крутящему моменту, деленному на момент сопротивления круче­ нию. Они имеют место в точках, расположенных на окружности, ограничивающей поперечное сечение, и направлены перпендику­ лярно радиусам (фиг. 6. 5,в).

148

Момент сопротивления имеет размерность см8 и характери­ зует сопротивляемость вала действию крутящей нагрузки. Чем он больше, тем меньше будут касательные напряжения и тем больший крутящий момент выдерживает вал. Подставляя в фор­ мулу (7) значение /р по формуле (4), находим

или приближенное значение Wp^0,2d3.

Точно так же можно получить момент сопротивления полого вала, у которого расстояние до крайних точек р шах 2 (фиг. 6. 7).

Принимая во внимание выражение полярного момента инерции полого вала [формула (5)], найдем момент сопротивления

-I

Фиг. 6.8. Разрушение при кручении.

а — гладкая поверхность разрушения дуралюминового вала (показана только одна половина разрушенного вала); 6 — разрушение стального вала.

Если увеличивать крутящую нагрузку, то вал в конце концов разрушится. Разрушение валов, изготовленных из пластичных материалов, таких, как сталь или дуралюмин, происходит по се­ чению, строго перпендикулярному оси вала. Пластичные мате­ риалы разрушаются от касательных напряжений, которые воз-

149

никают при кручении именно в поперечных сечениях. Особенно характерна картина разрушения дуралюминовых валов. Их попе­ речные сечения в месте разрушения имеют совершенно гладкую поверхность, как будто вал распилен на две части. Поверхность разрушения стального вала менее гладкая, что объясняется структурой стали. На фиг. 6. 8,а и б показаны фотографии дуралюминового и стального образцов круглого сечения после их разрушения от крутящей нагрузки. На образцах предварительно были нанесены продольные риски, которые обратились в винто­ вые линии.

Пример 1. Носок вала мотора имеет сплошное сечение диа­ метра d —b см. На конце носка передается от винта крутящая нагрузка с моментом М=0,25 тм, как показано на фиг. 6. 5,а. Определить наибольшие касательные напряжения в сечении носка.

Крутящий момент в любом сечении равен моменту М. Так как напряжения обычно выражаются в кг/см2, выразим величину М в кгсм. Получим Л4К=0,25 тм —25 000 кгсм.

Вычислим момент сопротивления

Искомые напряжения [формула (8)] равны

Они возникают в крайних точках. Для других точек напряжения меньше и убывают по прямой до нуля в центре сечения, как это следует по формуле (6).

Пример 2. Построим эпюру касательных напряжений, возни­ кающих в сечении передаточного вала АВ рулевого управления самолета. Сила Р=50 кг передается от ножной педали на качал­ ку на расстоянии г=20 см от оси вала (фиг. 6. 9,а). Наружный диаметр вала /) = 3,6 см, а внутренний — d = 2,0 см.

Для построения эпюры воспользуемся формулой (6). Крутя­

Напряжения у наружной поверхности трубы, т. е. в край­ них точках сечения, для которых р=1,8 см, получаем

150

У внутренней поверхности, при р=1 см, они равны

Вдоль радиуса касательные напряжения изменяются по пря­ мой. Их эпюра показана на фиг. 6. 9,6.

К а с а т е л ь н ы е н а п р я ж е н и я в п р о д о л ь н о м се ­ чении. При кручении возникают касательные напряжения и в продольных сечениях вала. Это обусловливается законом пар­ ности касательных напряжений, который гласит, что если в ка­ кой-нибудь площадке возникает касательное напряжение т, то в

Фиг. 6. 9. Передаточный вал рулевого управления самолета.

а — скручивание вала моментом М=Рг; б — эпюра касательных напря­ жений в сечении вала.

площадке, ей перпендикулярной, обязательно должно возникнуть касательное напряжение τ', причем составляющие этих напря­ жений, перпендикулярные линии пересечения площадок, равны по величине и обратны по знаку. В нашем случае, если продоль­ ную площадку взять в радиальном сечении, то напряжения в ней будут равны напряжениям в поперечном сечении.

Наглядное представление об этих напряжениях дает фиг. 6. 10,а. В продольных радиальных сечениях на основании за­ кона парности появляются касательные напряжения т'Р- т р, ко­ торые представляют собой силы взаимодействия между вырезан­ ным сектором и оставшейся частью вала.

Наличие касательных напряжений в продольном направлении подтверждается разрушением при кручении деревянных образ­ цов. Как известно, дерево обладает волокнистой структурой и вдоль волокон легко скалывается от незначительных касатель­ ных напряжений. При кручении деревянного бруса, волокна ко­ торого параллельны оси кручения, разрушение его происходит вследствие продольных трещин. Они появляются от касательных напряжений τ', возникающих в продольных сечениях и стремя­ щихся вызвать сдвиг вдоль волокон. На фиг. 6. 11,а показан ха-

151

ны по касательной к линии, ограничивающей сечение. Предполо­ жим, что напряжение τ Α у края поперечного сечения было бы на­ правлено не по касательной к наружной поверхности, а под углом к ней (фиг. 6. 10,6). Тогда его можно разложить на две состав­ ляющие: τ — параллельно касательной к наружной поверхности и х„ — перпендикулярно к ней. Первой составляющей по закону парности отвечает касательное напряжение τ' в продольном сече­ нии; второй составляющей τ„ должно отвечать касательное напря­ жение на наружной поверхности.

длине окружности, также нет ни­ каких удлинений: квадраты, образованные на поверхности бруса,

обращаются в ромбы без изменения длины их сторон (фиг. 6. 3). В продольных сечениях нормальные напряжения также отсут­ ствуют.

Вследствие перекоса квадратов их диагонали изменяют свою длину: одна диагональ увеличивается, а другая уменьшается. Это значит, что при кручении в наклонных сечениях бруса возни­ кают нормальные напряжения.

В самом деле, если вырезать из круглого бруса тонкую пла­ стинку abed (фиг. 6. 12,а), ограниченную двумя поперечными и двумя продольными разрезами, то по боковым граням на нее будут действовать только напряжения τ и τ', одинаковые по ве­ личине и противоположные по направлению. На фиг. 6. 12,6 вы-

153.