4. Решить задачу, рассмотренную в примере 3, при условии что балка в среднем пролете имеет весьма большую жесткость. Указание: при вычислении Δ,/. и δη вторыми слагаемыми можно пренебречь, так как они в знаменателе содержат весьма большие

числа и, следовательно, весьма малы. Ответ: Хг = д{г (следова­

8

тельно, изгибающий момент по середине балки равен нулю).

§5. Статически неопределимые рамы

Внастоящем параграфе рассмотрим примеры применения ка­ нонического уравнения [см. уравнение (3) в § 3] к расчету стати­ чески неопределимых рам. Смысл и порядок рассуждений оста­ ются совершенно такими же, как и при расчете статически не­ определимых балок.

Пример 1. Определить распор (горизонтальные составляю­ щие опорных реакций) П-образной рамы с шарнирно опертыми концами, несущей сосредоточенный груз Р по середине (фиг. 12.11). Высота и ширина рамы одинаковы и равны а. Поперечное сечение рамы постоянно.

Фиг. 12.11. К определению распора двухопорной рамы.

Обе опоры рамы неподвижны. Следовательно, каждая из них дает две составляющие реакции: вертикальную и горизонталь­ ную. Вертикальные составляющие реакций обеих опор одина­

ковы вследствие симметрии и равны каждая —.Горизонтальные

составляющие реакций также одинаковы, они уравновешивают так называемый распор рамы. Величина распора статически не­ определима. Обозначим ее и, следовательно, горизонтальные ре­ акции опор через Хг и примем последние за лишнюю неизвест­ ную.

407

Отбросив одну из горизонтальных связей, получим систему без распора — основную систему. На фиг. 12. 11,6 и в изображены эпюры изгибающих моментов для основной системы от нагруз­ ки Р — эпюра МР и от горизонтальных единичных сил — эпю­

ра Мх. Эпюры отложены с той стороны бруса, которая при данной изгибающей нагрузке сжата, как говорят, со стороны сжатых во­ локон. Например, при действии силы Р в поперечине рамы сверху образуется сжатая зона, а снизу — растянутая — эпюра М рас­ положена сверху. При действии единичных сил сжатые волокна

находятся внутри рамьр—^эпюра Мх расположена внутри; стой­ кам соответствуют треугольные эпюры, поперечине — прямо­ угольная; на чертеже эти эпюры частично перекрывают одна другую.

„Перемножая*, как и ранее, полученные эпюры Мр и Мх [см. формулу (4)] по Верещагину, найдем свободный член Διр канонического уравнения (3). Площадь треугольника эпюры

М х равна а. При перемножении учтем, что эпюры М и /И, различных знаков и, следовательно, произведение будет отри­ цательным. Получим

Для определения 8П „умножаем* эпюру Мх на самое себя [см. формулу (5)]:

Теперь можем определить искомую величину распора:

Ра?

Δχρ ~8РУ 3

Пример 2. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы (фиг. 12. 12,а), состоящей из двух стержней, сваренных под пря­ мым углом. Поперечные сечения стержней различны. Момент инерции сечения вертикального стержня равен Jlt а горизонталь­

ного — ЗУ,. Нагрузкой является сосредоточенный момент М, при­ ложенный в узле. Прикрепление рамы к опорам осуществляется неподвижными шарнирами, которые можно считать идеальными (т. е. трением в шарнирах можно пренебречь).

Каждая из неподвижных шарнирных опор представляет собой две связи. Следовательно, система однажды статически неопреде-

408

лима. Отбросив одну связь, например, так, как показано на фиг. 12. 12,6, получим статически определимую основную систему. Отброшенную связь заменим ее реакцией Х\. Неизвестную вели­ чину найдем, как всегда, из канонического уравнения (3).

Чтобы вычислить Дір и оп , построим эпюры изгибающих моментов М р и Мх от внешней нагрузки — момента М HJ от

Сумма этой эпюры с эпюрой Мр дает искомую эпюру М (фиг. 12.12, ё) изгибающих моментов для заданной рамы.

Пример 3. Построить эпюры изгибающих моментов, попереч­ ных сил и продольных сил для рамы, показанной на фиг. 12. 13. Рама представляет собой равносторонний треугольник, два узла которого (А и В) жестки, а один (С) шарнирен. Поперечное се-

409·

чение стержней рамы постоянно. Нагрузка интенсивностью q: равномерно распределена по горизонтальному стержню рамы.

Рассматриваемая рама содержит две «лишних» связи (см. § 1)’, но при данной симметричной нагрузке направление сил взаимо­ действия в шарнире известна и рама однажды статически неопре­ делима. Разрезая раму в шарнир, получим статически опре­ делимую раму, которую примем за основную систему. Силы взаимодействия в шарнире заменим силами Хг. Других сил в шарнире возникнуть не может в силу симметрии системы и на­ грузки. На фиг. 12. 13,6 показана полученная система, эквива­ лентная заданной.

Фиг. 12.13.' Эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил для симметричной треугольной рамы с шарниром. За лишнюю неизвестную л ( принят распор в шарнире С.

Эпюры моментов М,, и Мг от нагрузки q и от единичной на­

410

Окончательную эпюру изгибающих моментов М получим, складывая попрежнему эпюру Мр (от заданной нагрузки)

с эпюрой М г от единичной нагрузки, умноженной на Х г=

= 20Л ^СМ' Ф°РМУЛУ (6)]· На фиг. 12.13, д показана эпюра М.

На построении эпюр поперечных сил Q и продольных сил N остановимся подробнее. Выше, в гл. VIII, были рассмотрены при­ меры построения эпюр Q и N для статически определимых брусьев. Точно так же построим эти эпюры для нашей основной системы с учетом сил Хі (фиг. 21. 13,6), и, поскольку такая си^ стема эквивалентна заданной, эти эпюры и будут искомыми.

Определим значения Q и N в наклонных стержнях рамы. Раз­

для стержня. Таким образом продольная сила в наклонных стержнях СА и СВ (фиг. 12. 13,α) N C A = N с в = —0,0288 qa. Вто­ рая составляющая силы Хі, равная .Vi cos 30°=Аі 0,867=0,05 <70, является поперечной силой в наклонном стержне рамы. В соот­ ветствии fc правилом знаков для поперечной силы, принятым в гл. VIII, поперечная сила в стержне СВ положительна, а в стерж­ не СА отрицательна:

Q св = 0,05^а, QCA = — 0,05qa.

Обратимся к горизонтальному стержню АВ рамы. Проведя произвольное сечение в расстоянии х от левой опоры и про­ ектируя на направление сечения все силы, действующие на

фиг. 12.13, е). Чтобы получить продольную силу, спроекти­ руем те же силы на нормаль к сечению. Находим Мав = Хі =

=0,0576qa. Эпюра продольных сил N показана на фиг. 12.13, ж. Задачи. 1. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы,

рассмотренной в примере. 1 , но при равномерно распределен-

ной нагрузке (фиг. 12.14). Ответ: МтіХ = — qa?.

40

2. Построить эпюры М, Q и N для рамы, показанной на

фиг. 12.15. Ответ·. Мт. = — Ра.

“ах ^52

411