таком построении ординаты эпюры М получаются всегда с вогну­ той стороны балки, со стороны сжатых волокон (фиг. 8 . 1 2 ).

Чтобы получить навыки, необходимые для расчетов на изгиб, рассмотрим несколько примеров построения эпюр.

§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли

Пример 1. Пусть консоль нагружена одной сосредоточенной силой Р на свободном конце (фиг. 8. 13). Начав с левого конца, можно построить эпюры Q и М, не определяя опорных реакций.

вой стрелке. Его величина пропорциональна величине х в первой степени. Передвигая экран и, следовательно, изменяя расстоя­ ние X * , получаем различные величины изгибающих моментов:

I

в точке А, при х=0, М=Р · 0=0; по середине балки, при * = - у .

М - — ; в точке В, при х —1, М=Р1=МтΜ. Снова проводим ось

балки и откладываем вверх от нее во всех сечениях в произволь­ ном масштабе величины изгибающих моментов, пропорциональ­ ные расстояниям до этих сечений. Концы ординат располагаются на наклонной прямой, и эпюра изгибающих моментов имеет вид

* Сечение, имеющее переменную абсциссу х, часто называют текущим сечением.

220

треугольника (фиг. 8 . 13,г). Всегда, когда момент связан с абс­ циссой X уравнением первой степени, эпюра изгибающих момен­ тов М изображается наклонной прямой. Наибольшая ордината эпюры М получилась в опорном сечении. Она равна опорному моменту Мд=Р1. Между прочим, легко заметить, что любая орди­ ната эпюры М равна левой части площади эпюры Q. На фиг. 8 . 13,в площадь прямоугольника с основанием х и высотой Р равна Рх, что и дает вели­ чину изгибающего момента; то же получается и для всех других сечений.

чим х\ причем расстояния до сечений, расположенных между си­ лами Рi и Рг, будем обозначать через х\\ до сечений между Рг и Р3— через х2 и т. д. (На фиг. 8. 14,а пунктиром показано поло­ жение листа, когда его левый край находится на расстоянии х, от конца А.) Беря различные сечения, вычисляем поперечные силы для отдельных участков:

в первом участке Qi — Pi,

во втором участке ζ?2= Ρ ι + Ρ2; в третьем участке <Зз=Рі+Р2+Рз.

221

В каждом участке между силами Р поперечная сила имеет постоянное значение, и эпюра Q для всех участков очерчивается прямыми, параллельными оси балки (фиг. 8. 14,6). От каждой сосредоточенной силы Р в отдельности эпюра Q имеет вид прямо­ угольника (пунктир на фиг. 8 . 14,6); окончательную эпюру мож­ но получить путем сложения эпюр, построенных раздельно для каждой силы Р. На границах участков, т. е. в тех местах, где приложена сосредоточенная нагрузка, поперечная сила имеет два значения. Например, под силой Р2 поперечная сила слева равна Plt а справа Рг+ Р2. Аналогично получается под силой Р...

Под сосредоточенной силой в эпюре Q имеется скачок на вели­ чину этой силы. Фактически сосредоточенных сил не бывает, име­ ются нагрузки, распределенные на некотором участке по длине балки, и изменение поперечной силы происходит постепенно, как при распределенной нагрузке (см. ниже примеры 3 и 7).

Теперь перейдем к составлению выражений для ординат эпюры М на отдельных участках (фиг. 8 . 14,а).

В первом участке Μχ—ΡχΧχ, во втором участке Μ2=ΡχΧ2+Рг(*2—а);

втретьем участке Μ3=Ρ1χ3+Ρ2(χΆ—а)+Рз(хз—2а).

Впределах первого участка слева мы имеем только одну си­ лу Pt. Слева от сечений второго участка имеются две силы: Рг

иР2, до этих сечений расстояние силы Рг равно х2, а расстояние силы Р2 на величину а менвше. Обе они создают положительный изгибающий момент. Передвинувшись в третий участок, мы бу­

дем иметь слева уже три силы: Plt Р2 и Р3; расстояния каждой из них до рассматриваемого сечения соответственно равны: хл, (ха—а) и (х3—2а). На всех участках М зависит от х в первой степени. Между сосредоточенными силами при отсутствии на участке каких-либо других нагрузок изгибающий момент изме­ няется по наклонной прямой. Чтобы провести эти прямые, вычи­ слим ординаты эпюры М на границах участков. Из уравнения первого участка при Χχ= 0 имеем ^==0. При хг= х2=а изгибаю­ щие моменты из уравнений первого и второго участков получа­ ются одинаковыми: М1=М2 = Р1а·, скачка в эпюре М под сосре­ доточенной силой не будет. Так же одинаковыми получаются изгибающие моменты при х2= х3 — 2а, вычисленные из уравне­

=М ІІ=Р1За+Р22а+Р3а. Концы этих ординат соединяются на­ клонными прямыми (фиг. 8 . 14,е), изображающими зависимость М от X , причем каждая сила вносит изменение наклона этих прямых, и поэтому под сосредоточенной силой эпюра изгибаю­ щих моментов всегда имеет перелом. Если построить эпюры М от каждой силы в отдельности, то они будут иметь вид треуголь­ ников (фиг. 8 . 14,г); складывая их, получим общую, как гово­ рят, суммарную эпюру М (фиг. 8 . 14,в).

222

Эпюра изгибающих моментов связана с эпюрой поперечных' сил. Зависимость между ними в данном примере выражается в том, что, как и в предыдущем примере, в любом сечении орди­ ната эпюры М равна площади эпюры Q, расположенной левее этого сечения. Например, левее силы Р3 площадь эпюры Q со­ стоит из двух прямоугольников: Рг2а+Р2а, что составляет вели­ чину М под силой А,. Изгибающий момент в опорном сечении равен всей площади эпюры Q.

Пример 3. Рассмотрим построе­ ние эпюр в балке с защемленным концом от равномерной нагрузки ин­ тенсивностью q кгісм (фиг. 8 . 15).

Возьмем произвольное сечение на расстоянии х от свободного конца. Правую часть балки мысленно отбро­ сим (закроем экраном). На единицу длины приходится нагрузка q, а на всем левом участке длиной х она равна qx\ равнодействующая qx при­ ложена в центре тяжести равномер­ ной нагрузки по середине участка х (фиг. 8 . 15). Проектируя все левые силы на вертикаль, находим попереч­ ную силу; по принятому правилу зна­ ков она получается отрицательной:

Q= —qx.

Передвигая экран и изменяя рас­ стояние X, находим поперечные силы в различных сечениях: в сечении А, при λ=0, 'Q —0; по середине балки,

при х —1, Q= —ql .

Откладывая их перпендикулярно оси балки вниз, как отрица­ тельные, и соединяя полученные точки прямыми, строим тем са­ мым эпюру Q, которая должна изменяться по наклонной прямой, потому что поперечная сила зависит от х в первой степени (фиг. 8 . 15). Реакция опоры В равна ординате эпюры Q в опор­ ном сечении и направлена вверх: B = ql.

Изгибающий момент, который равен сумме моментов левых сил, в данном сечении можно вычислить как момент равнодей­

223

Момент отрицателен, так как действует на правую часть против часовой стрелки.

Подставляя различные значения х, вычисляем М в нескольких

Отложим ординаты, изображающие величины М, вниз от оси. Концы ординат в данном случае будут расположены не на пря­ мой, а на кривой (фиг. 8. 15). Кривая, ординаты которой про­ порциональны их расстояниям в квадрате, умноженным на по­ стоянную величину, называется параболой второй степени (гл.I, § 2). Эпюра изгибающих моментов от равномерно распределен­ ной нагрузки очерчивается по параболе второй степени.

Наибольшая ордината получается в опорном сечении. Она

правлен по часовой стрелке.

Пример 4. Построим эпюры Q и М цля консоли, нагружен­ ной сосредоточенным моментом Мс (фиг. 8. 16).

Левее точки С нет никаких нагрузок; этот участок балки не испытывает никаких усилий и не изгибается. Возьмем сечение тт

положительную величину Мс, которую и откладываем вверх от оси балки (фиг. 8 . 16). Опорный момент М0=М С направлен про­ тив часовой стрелки, а опорная реакция равна нулю.

Пример 5. Консоль нагружена несколькими сосредоточенны­ ми моментами: МА=Ъ тм, Мв= —3 тм и Мс=4 тм (фиг. 8 . 17).

224

Если построение эпюр начинать от опорного сечения, то предва­ рительно необходимо определить опорные реакции, чтобы знать все внешние силы, действующие на балку. От моментной нагрузки реактивная сила в заделке не возникает. Нагрузка может быть уравновешена только одним реактивным моментом. Отбросим опору и заменим ее действие опорным моментом М0. Выбрав его

моментами.

Μχ—Μο—2 тм\

эпюра очерчивается горизонтальной прямой, параллельной оси балки (фиг. 8. 17). Слева от сечения 2 — 2 имеется уже два момента; изгибающий момент равен их сумме:

Ж2 = ж 0 + Жд = 2 + 5= 7 тм.

Здесь эпюра проходит выше эпюры первого участка на величину МА. В третьем участке изгибающий момент равен сумме трех левых моментов, причем момент Мв направлен против часовой стрелки и входит в сумму со знаком минус:

Μζ= М0 + Л1А —МВ= 2 + 5 —3=4 тм.

Концы ординат лежат на горизонтальной прямой, которая проходит ниже эпюры второго участка на величину Мв- В сече­ ниях, где приложена сосредоточенная моментная нагрузка, изги­ бающий момент имеет два различные значения слева и справа от места приложения нагрузки. Под сосредоточенным моментом в эпюре М получается скачок на величину этого момента. Если добавляют положительный момент, то скачок получается вверх; если отрицательный, то вниз. При этом нужно помнить, что поло­ жительный момент слева направлен по часовой стрелке, а спра­ ва — против часовой стрелки. Учитывая последнее обстоятель­ ство, эпюру, изображенную на фиг. 8. 17, можно получить, идя

справа, от свободного конца балки. В самом деле, изгибающий момент, вычисленный как сумма правых моментов, в сечении

3—3 равен М3=МС—4 тм, в сечении 2—2 равен М2= М с + Ме =

=4 + 3=7 тм, в сечении 1—1 получаем М3 = Мс-)гМв —Мл = 4+ + 3—5=2 тм, что полностью соответствует эпюре. Замечание, сде­ ланное в примере 2 о скачках в эпюре поперечных сил, относится 'и к скачкам в эпюре изгибающих моментов.

Пример 6. Консоль заделана правым концом и нагружена рав­

а изгибающий момент меняется пропорционально первой сте­ пени X, т. е. по наклонной прямой (фиг. 8.18):

226

ма их проекций не изменяется, потому что проекция момента на любую ось равна нулю, но сумма моментов левых сил изменится. Для третьего участка имеем:

Q3=qa; M3 = q a ^ x 3----j 'j + Afc = 400^ x 3— ^-) + 200.

Поперечная сила осталась прежней, сосредоточенный момент не отражается на ее эпюре. К изгибающему моменту добавилась постоянная величина, но ординаты его эпюры изменяются по пря­ мой с прежним наклоном, потому что его зависимость от х оста­ лась такой же, как и для второго участка. На границе со вторым участком (фиг. 8. 18) изгибающий момент имеет два значения: М2= 600 кгм и Λ43=600 + 200=800 кгм. Эпюра М под сосредото­ ченным моментом претерпевает скачок на величину этого мо­ мента.

У ч а с т о к IV. Передвигая сечение в последний участок на расстояние х4 от начала, присоединим к левым силам еще и со­ средоточенную силу Р, направленную вниз (фиг. 8. 18). В этом участке поперечная сила равна Qt— qa—Р=400—600=—200 кг. На границе между третьим и четвертым участками она имеет два значения (фиг. 8. 18): Q3=400 кг и Q4= —200 кг. Под сосре­ доточенной силой в эпюре Q получается скачок на величину этой силы.

Теперь составим для четвертого участка выражение изгибаю­ щего момента

M4 = qa^x4— γ j + Мс —Р (х4— За) = 400 (х4— j +

+ 200 — 600 (л:4 —За).

Это есть уравнение прямой, так как содержит х в первой сте­ пени. Наклон этой прямой отличается от наклона прямой третье­ го участка благодаря влиянию сосредоточенной силы Р, под кото­ рой в эпюре М получается перелом. Подставляя значения х4, находим ординаты и строим эпюру М (фиг. 8. 18).

Пример 7. Построим эпюры Q и М в балке с левым защем­ ленным концом от сплошной нагрузки, изменяющейся вдоль бал­ ки по треугольнику с максимальной интенсивностью <Дфиг. 8. 19). В данном примере удобнее начать построение эпюр, идя от пра­ вого, свободного конца балки (на этот раз следует закрыть ле­ вую часть и лист бумаги передвигать влево).

В произвольном сечении на расстоянии х сплошная нагруз­ ка имеет интенсивность qK. На очень малый участок прихо­ дится нагрузка qx&x, равная площади эпюры нагрузки на этом участке (фиг. 8. 19). Площадь всей эпюры в виде треуголь­ ника с основанием I и высотой q составляет всю нагрузку

2

бранного сечения, равна площади треугольника с основанием X и высотой q r Она дает равно действующую ^ - . Выразим ее че­

Согласно принятому правилу знаков (фиг. 8.12) поперечная сила получается отрицательной, потому что сумма правых сил направлена вверх. Она зависит от х и изменяется

Изгибающий момент, равный сумме моментов правых сил, можно вычислить как произведение равнодействующей этих сил

на ее расстояние до выбранного сечения. Это расстояние равно —, 3

т. е. расстоянию от сечения до центра тяжести малого треуголь­ ника, где проходит равнодействующая. Таким образом

228

Здесь изгибающий момент положителен, потому что дей­ ствует на левую часть против часовой стрелки. Он зависит от X 3; концы ординат его эпюры лежат на кривой, которая называется параболой третьей степени. Отдельные точки пара­ болы получим, давая величине д: различные значения. Напри-

Соединяя полученные точки плавной кривой, построим эпюры Q и М (фиг. 8. 19).

С в о й с т в а э п ю р Q и М. На разобранных примерах уста­ новлены некоторые общие свойства, которые могут послужить для облегчения построения и проверки правильности эпюр. Напомним эти свойства. Они сводятся к следующему.

Эпюра Q: а) имеет скачок под силой, равный этой силе; б) на свободных участках между нагрузкой очерчивается по горизон­ тальной прямой; в) на участках со сплошной равномерной на­ грузкой изменяется по наклонной прямой, с треугольной нагруз­ кой — по квадратной параболе; г) в местах приложения нагрузки в виде сосредоточенных моментов никаких изменений не имеет.

Эпюра М: а) имеет перелом под силой; б) на свободных уча­ стках между нагрузкой изменяется по наклонной прямой; в) на участках со сплошной равномерной нагрузкой изменяется по квадратной параболе, с треугольной нагрузкой — по параболе третьей степени; г) имеет скачок под сосредоточенным моментом на величину этого момента.

Задачи. 1. Построить эпюры Q и М для консоли, нагруженной на свободном конце силой Р и п о середине силой 2Р (фиг. 8. 20,а). Как изменятся эпюры Q и М, если силу 2Р направить вверх?

2.Постройте эпюры Q и М сначала отдельно от одной силы Р, приложенной на конце, и от одного момента Ра, приложенного по середине, а затем постройте те же эпюры при одновременном действии силы и момента (фиг. 8. 20,6).

3.Нагрузка балки состоит из равномерной, интенсивностью (/=300 кг/м, приложенной на левой половине, и из сосредоточен­

всей длине консоли, а по середине приложена сосредоточенная

величину сосредоточенного момента уменьшить вдвое.

2 2 9