- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
§10. Кручение за пределом пропорциональности
Впредыдущем изложении предполагалось, что напряжения нигде не превосходят предела пропорциональности и все деформации происходят в пределах упругости материала. Расчет на прочность производится путем сравнения фактических напряжений с допускаемым [§ 7 настоящей главы, формула (14)], которое для пластических материалов принимается равным
пределу текучести при сдвиге, деленному на коэффициент запаса [τ] = ——.
п
Это есть расчет по допускаемым напряжениям. Начало текучести материала в самой напряженной точке считается опасным состоянием конструкции и нагрузка, вызывающая это состояние,— предельной, превышать которую нельзя. При кручении круглых стержней это соответствует состоянию, когда
Фиг. 6.27. Кручение за пределом пропорциональности.
а — напряжения крайних волокон достигли предела текучести, эпюра напряжений треугольная; б — изменение напряжений за пределом пропорциональности с увеличением нагрузки.
касательные напряжения в крайних точках сечения достигают предела теку чести при сдвиге τΤ (фиг. 6. 27,а). Крутящий момент этого состояния Л4пр=
= тт Wp=n\~\Wp определяет предельную грузоподъемность при расчете по допускаемым напряжениям. Но начало текучести только в крайних точках сечения так же, как и при расчете статически неопределимых систем (гл. Ill, § 6), еще не означает полного отказа стержня от работы и не исчерпывает всей его возможной грузоподъемности. Кроме крайних точек, все остальные точки сечения находятся еще в упругом состоянии, и для дальнейшего за кручивания стержня необходимо увеличить крутящий момент. Напряжения крайних волокон стержня, находящихся в состоянии текучести, с возраста нием нагрузки больше не увеличиваются и остаются равными тт. а напря
жения средних волокон, находящихся в |
упругом состоянии, увеличиваются |
до тех пор, пока они тоже достигнут величины тх. |
|
Исследование кручения за пределом |
пропорциональности основано на |
тех же допущениях, которые были приняты (§ 1 настоящей главы) при кру чении в пределах пропорциональности, а именно: 1) поперечные сечения
остаются плоскими, |
хотя теперь появляются и остаточные деформации, и |
2) радиусы остаются |
прямыми. Таким образом после начала текучести де |
формации в отдельных точках сечения происходят так же, как и при кру чении в пределах упругости, но пропорциональность между деформациями и напряжениями нарушилась: деформации растут, а напряжения не растут вовсе или увеличиваются значительно медленнее, чем до текучести. Эпюра
178
касательных напряжений теперь получается не прямолинейной (фиг. 6. 27,а), а криволинейной (фиг. 6.27,6) и с возрастанием нагрузки она становится все более выпуклой. Грузоподъемность стержня, его несущая способность, будет полностью исчерпана, когда во всех точках круглого сечения напря жения достигнут величины τχ. В этом предельном случае кручения за пре делом пропорциональности эпюра напряжений получается в виде двух прямо угольников (фиг. 6.28,а). Дальнейшее закручивание стержня пойдет уже без увеличения нагрузки, и с этого момента начинается разрушение; нагрузки этого состояния являются разрушающими, а соответствующий им наиболь
Фиг. 6.28. Предельная нагрузка.
а — эпюра напряжений в предельном состоянии; б — вы числение предельного крутящего момента.
ший крутящий момент Λίπρ определяет предельную грузоподъемность стерж ня, его разрушающую нагрузку.
Выразим величину |
предельного крутящего момента МПр через на |
|
пряжения ττ. В предельном состоянии (фиг. 6. 28, о) на площадку AF, взя |
||
тую на расстоянии |
р |
от центра сечения, действует элементарная сила |
тfAF (фиг. 6.28,6). |
Ее |
момент относительно оси стержня, проходящей |
через центр сечения, равен τχΔ.Ρρ. Сумма этих моментов в пределах одного
кольца радиуса р (фиг. 6.28,6) и |
с |
площадью FK= 2πρΑρ (§6 настоящей |
главы) получается в следующем виде: |
|
|
2 ττρΔ/? = |
τχρ |
2^·Ρ=2πτχρ*Δρ. |
Величину М„р получим, сложив моменты, приходящиеся на все кольца, заполняющие сечение, т. е. взяв пределы суммирования от 0 до г,
г
Λίηρ =2 2πτχρ2Δρ.
Вынося постоянные величины за знак суммы и принимая во внимание
формулу (12), окончательно определяем разрушающий крутящий момент
τ
(17)
ο
12* |
179 |
Если его разделить на коэффициент запаса, получим так называемый допу скаемый крутящий момент, вычисленный по способу разрушающих нагрузок:
red8 ττ red8 |
(17') |
|
І2'~n~= 12 |
||
|
Крутящий момент, который можно безопасно приложить к стержню, по способу допускаемых напряжений получается из условия прочности (14)
Мд=1Гр [х]=— [х].
Таким образом в случае неравномерного распределения напряжений по сечению переход к способу расчета по разрушающим нагрузкам дает воз можность повысить грузоподъемность стержня и при одинаковой грузо подъемности по способу разрушающих нагрузок можно получить экономию материала.
Контрольные вопросы
1. При какой нагрузке происходит деформация кручения и
вчем она состоит? Привести примеры кручения из практики.
2.Чему равен крутящий момент? В какой плоскости он дей
ствует по отношению к оси стержня?
3. Какие деформации происходят при кручении? Что назы вается углом закручивания и углом сдвига?
4.Какие предпосылки положены в основу изучения явления кручения?
5.Какие напряжения возникают в поперечном сечении вала
при кручении?
6.Как распределяются напряжения по сечению круглого
вала?
7.Какому условию должны удовлетворять касательные на
пряжения и внешняя нагрузка отсеченной части вала?
8. Что называется относительным углом закручивания? Как он связан с углом сдвига, с крутящим моментом и модулем упругости? Проверьте размерность формулы для относительного угла закручивания.
9. Что такое полярный момент инерции, его размерность, как он вычисляется для сплошного и полого валов? Что такое же сткость вала?
10.Как вычисляются касательные напряжения в поперечном сечении круглого вала? Где они имеют наибольшее значение? Какова их размерность?
11.Что называется моментом сопротивления кручению? Чему он равен для сплошного и полого валов?
12.Почему возникают касательные напряжения в продоль ных сечениях и какими опытами это подтверждается?
13.Как разрушаются чугунные образцы при кручении? Объясните, какие напряжения для них являются опасными.
180
14.Напишите формулы для вычисления суммы произведений приращения какой-нибудь величины на самую величину, возве денную в какую-нибудь степень.
15.Как нужно разбить круглое сечение на элементарные площадки, чтобы вывести формулу полярного момента инерции?
16.Напишите зависимость между крутящим моментом и мощностью на валу. Какова размерность величин, входящих в эту зависимость?
17.Всегда ли нужно увеличивать диаметр вала, если увели
чивается передаваемая им мощность?
18. Как вычисляется угол закручивания вала постоянного сечения, нагруженного несколькими моментами?