Сложная нагрузка

изгибающих моментов, производить построение эпюр не сразу от всей приложенной нагрузки, а отдельно от сил, от сосре­ доточенных моментов, от сплошной нагрузки и т. д. и затем со­ ставлять общую или, как гово­ рят, суммарную эпюру от их сов­ местного действия. В примере, изображенном на фиг. 8.14, был дан простой случай сложения эпюр от ряда сосредоточенных грузов. Покажем, как получает­ ся суммарная эпюра в более сложных случаях, если известны эпюры от отдельных силовых факторов. Пусть, например, кон­ сольная балка нагружена равно­ мерной нагрузкой q в пределах пролета I (фиг. 8.30, а). Из при­ мера 4 предыдущего параграфа (фиг. 8. 24) известно, что эпюра Mq от этой нагрузки положи­ тельна и имеет вид выпуклой параболы второй степени с наи­

че, наложить их друг на друга. В пределах консоли от нагрузки q изгибающий момент не возникает, эпюра Мд имеет здесь нуле­ вые ординаты. При наложении на этом участке остаются только отрицательные ординаты эпюры МР без изменений. На участке

238

между опорами к отрицательным ординатам треугольной эпю­ ры Мр нужно приложить положительные ординаты эпюры разность между ними и будет давать ординаты суммарной эпю­ ры. У левой опоры, где ординаты МР по абсолютной величине больше ординат M q, суммарная эпюра получается отрицатель­ ной; в сечениях, где МР меньше M q, суммарная эпюра положи­ тельная; по середине пролета

Мсум = = ^

Ра

2

Если параболическую эпюру Мд разбить на некоторое число вертикальных тонких полосок, то при сложении эти полоски как бы передвигаются по вертикали и размещаются своим основанием на прямой А ' В треугольной эпюры М р , оставаясь попрежнему вертикальными и плотно заполняя весь участок между опорами. При этом симметричная относительно середины парабола (фиг. 8.30, а) перекосится и не будет симметричной (фиг. 8.30, в), но число полосок, ограничен­ ных ею, и их расстояния по горизонтали не изменяются. Поэтому площадь такой перекошенной параболы второй сте­

пени остается прежней, Ω = — , и ее центр тяжести лежит

на средней вертикали, как и в симметричной параболе. Исходя из этого построения, легко определить площадь суммарной эпюры Л/Сум. В пределах консоли она не изменилась и равна площади ДСДЛ'. На участке А В она состоит из положитель­ ной площади параболы и отрицательной площади / \ А ' А В :

=Эту же эпюру можно получить и общим

путем: сначала определить опорные реакции от всей нагрузки, а затем составить уравнения эпюр Q и М для каждого участка,, как это делалось в примерах § 5 и 6.

С п л о ш н а я н а г р у з к а п е р е м е н н о й и н т е н с и в ­ ности. В инженерных сооружениях часто приходится иметь де­ ло со сплошной нагрузкой, интенсивность которой подчинена, сложному закону распределения ее по длине балки, нередко за­ данному лишь графиком. Например, воздушное давление рас­ пределено по площади крыла самолета неравномерно. Средние по каждой хорде величины давлений меняются по размаху (фиг. 8. 31,а). Для получения в каждом намеченном сечении интенсивности q [кгісм], приходящейся на единицу длины по раз­ маху крыла, нужно среднее (по хорде) значение давления, дей­ ствующее в данном сечении, умножить на хорду сечения Ь. Ь ы- числяя величины q=pb для ряда сечений, взятых через равные промежутки а х , и откладывая их на графике в виде ординат, со­ единенных плавной кривой, получаем эпюру нагрузки q распре­ деленной по размаху (на фиг. 8.31,6 изображена такая эпюра для полуразмаха I).

239·

Обычно для построения эпюр и вычисления усилий Q и М от такой сложной нагрузки применяют приближенный способ. Он состоит в том, что эпюру q, ограниченную произвольной кривой, разбивают на п вертикальных полос с одинаковой шириной Ах=

= — и заменяют ее ступенчатой эпюрой, имеющей в пределах

п

каждого интервала Дд; постоянную интенсивность, равную дей­ ствительной интенсивности q=pb, вычисленной для среднего се-

6)

Фиг. 8.31. Сплошная нагрузка переменной интенсивности.

'чения данного интервала (пунктир на фиг. 8.31,6). Эти средние сечения интервалов расположены на равных расстояниях Дхдруг от друга, причем сечения в первом и последнем интервалах по­

лучаются на расстоянии — Ах от краев. Близкие по форме к тра­

пеции вертикальные полосы действительной эпюры q, площадь которых равна нагрузке, расположенной в пределах интервала, заменяются почти равновеликими им прямоугольными полосами площадью qАх. Рассматривая крыло самолета как консоль, за­ щемленную корневым сечением на фюзеляже, и идя от свобод-

240

ного конца, можно опорные реакции при определении усилий не вычислять. Тогда поперечная сила в любом сечении на границе между интервалами равна сумме площадей полос эпюры нагруз­ ки, расположенной в данном случае слева от сечения. Эти полосы имеют разную высоту q и одинаковую ширину Δχ, которая при суммировании выходит за скобки. Например, в четвертом сече­ нии (фиг. 8. 31,в)

' Q * = ( q i + q i + d t + Q t ) ь х .

Для вычисления Q достаточно сложить средние ординаты эпюры q для интервалов, расположенных слева от сечения, и умножить сумму на длину интервала Δχ. Чтобы вычислить изгибающий момент в каком-либо сечении на границе между интервалами, нужно нагрузку каждого интервала qHx умножить на ее рас­ стояние до сечения и сложить эти произведения. Принимая во внимание, что длина всех интервалов одинаковая и выходит за скобки, то, например, для того же четвертого сечения получается

М4= (3,5^+2,5(72+1,5(73+0,5^4) (Δχ)2.

Здесь в скобках стоит сумма произведений левых ординат эпюры q на число интервалов, заключенных между соответствующей ординатой и сечением. Вся сумма умножается на квадрат интер­ вала δ χ . По вычисленным таким образом ординатам строятся эпюры Q и М (фиг. 8 . 31,в и г).

Рассмотренный приближенный способ, пригодный для любой нагрузки, дает результаты, которые будут тем точнее, чем мельче будут интервалы Δχ, т. е, чем больше будет взято промежуточ­ ных сечений. Это позволяет производить расчет с любой степенью точности, которая может быть признана целесообразной. Доста­ точно удовлетворительная для целей практики точность расчета получается, если разделить полуразмах I на п = 6 или больше частей.

Задачи. 1. Простая балка пролетом 1=4 м нагружена равно­ мерной нагрузкой (7 = 2 0 0 кг/м, направленной вниз. Добавить к этой балке в опорных сечениях два одинаковых отрицательных момента М0, вызывающих изгиб ее выпуклостью вверх, и по­ добрать их величину так, чтобы площади эпюр изгибающих мо­ ментов отдельно от нагрузки q и от опорных моментов М0 были равны. Построить эпюру Л4сум от совместного действия нагрузки q

аІг

и моментов М0. Ответ: М0= ^ .

2. Для крыла, длина которого от корневого сечения до сво бодного конца /=5,4 м, известны ординаты эпюры q для средних сечений интервалов (фиг. 8.31,6): qx = 24Q\ <72= 580; qz= 820; (74=

=980; <75= 1100; <7„=1160 кг/м. Вычислить усилия Q и М во всех сечениях и построить их эпюры. Ответ: в корневом сечении Q=

=4392 кг; А/=9300 кгм.