- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
кладываемая внезапно или в течение малого промежутка времени, вызывающая явления удара и колебаний системы. Расчеты на динамические нагрузки обычно сводятся к статическим задачам путем введения коэффициентов, учитывающих динамический эффект. В настоящей книге рассматриваются лишь случаи стати ческого нагружения.
в —сила Р сжимает стойку; б —сила Р сжимает и изгибает стойку; в—при параллельном переносе силы изменяется момент; г—пара сил (образует момент Р · с); д и е - мо мент М закручивает брус; ж момент изгибает брус.
§2. Графики
Встроительной механике широко пользуются графическими методами для решения задач и иллюстрации теоретических положений. В настоящем параграфе показано пользование системой координат для изображения не которых математических зависимостей.
Пример 1. Пусть дана зависимость:
|
У=5х. |
|
( 1) |
Если величине х дадим какое-либо значение, например, 2, то по урав |
|||
нению (1) получим соответствующее значение у, в данном случае |
у —5Х |
||
Х2=10. Положив х —5, |
будем иметь t/=5 · 5=25 и т. д. Значение |
у |
зависит |
от значения х; в таких |
случаях говорят, что у есть функция от |
х. |
|
14
Построим график функции (1). Проведем две взаимно перпендикуляр ные оси X и у, которые называются осями координат (фиг. 1.3,а). На этих осях будем откладывать в масштабе значения х и у. Масштабы отрезков по· оси х н у при этом могут быть различными. Отложив отрезок х=2 по го
ризонтальной оси X, а из |
его конца по |
вертикали отрезок у —10, поставим |
|
первую точку графика А. |
Значения |
х —2 |
и у —10 суть координаты точки А. |
Координата х называется |
абсциссой, |
координата у — ординатой точки. Отло |
жив также по оси х значение дг=5 и соответствующее значение у = 25, полу чим точку В, координаты которой суть 5 и 25.
Фиг. 1.3. Примеры графиков.
а —график функции у —5х в прямоугольной системе координат
х и у, |
б—тот же график, причем ось у |
не показана (обычный |
вид эпюры); в —график функции у =20і-5х; г—график функции |
||
|
у = 3 х г—15х + 10. |
|
Можно |
получить сколько угодно точек, |
удовлетворяющих зависи |
мости (1). Так, при х=8 будет ι/=5·8=40; соответствующая точка С пока зана на чертеже. Соединяя все эти точки, замечаем, что получается прямая линия. Эта прямая является графиком или эпюрой функции (1). Координа ты каждой точки графика удовлетворяют уравнению (1).
Продолжая полученную прямую (см. пунктир), видим, что она проходит
через начало координат О. В самом деле, положив х=0, из уравнения |
(1) |
||
имеем у=0, т. е. точка О также удовлетворяет уравнению (1). |
|
||
Иногда ось ординат у не изображается на чертеже. Тогда эпюра имеет |
|||
вид, показанный на фиг. 1.3,6. |
|
||
Пример 2. |
Построим |
график функции: у = 5х+20. |
(2) |
Положив х=2, |
получим |
г/=5 · 2+20=30. Построим соответствующую |
точ |
ку А на графике (фиг. 1.3,в). Положив х=Ъ, имеем из уравнения (2) у= =45; соответствующая точка В также нанесена на чертеже. При х=8 на ходим у =60 (точка С). Откладывая таким образом произвольно большое количество точек и соединяя их друг с другом, убеждаемся, что получаю щийся график также является прямой линией, но не проходящей на этот
1і
раз через начало координат (на фиг. 1.3,а показана пунктиром). Получен ная прямая отсекает на оси ординат отрезок, равный 20, т. е. равный сво бодному члену уравнения (2).
Таким образом эпюра оказывается прямолинейной, если уравнение, ею изображаемое, является уравнением первой степени.
Пример 3. Теперь рассмотрим случай, когда уравнение содержит х во
второй степени, например, |
(3) |
у=3хг— 15*+10. |
Будем давать величине х последовательно значения, указанные в табл. 1;
там же приведены соответствующие значения у. |
Так, при х= 0 имеем у= 10, |
||||||
при х=1 |
соответственно у = 3 · ! 2—15-1 + 10=—2 |
и т. д. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
X = |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
V— |
10 |
- 2 |
- 8 |
- 8 |
- 2 |
10 |
28 |
Откладывая ординаты в одинаковом масштабе (фиг. 1.3,г) положитель ные попрежнему вверх, а отрицательные вниз от оси х и соединяя затем концы ординат плавной кривой, построим искомую эпюру по уравнению (3). Полученная кривая называется параболой второй степени или квадратной параболой.
В случае если уравнение типа (3) содержит х в третьей степени, то эпюра у также криволинейна — является параболой третьей степени или ку бической параболой.
Задачи. 1. Построить прямолинейные |
эпюры: _у=3х; у= 0,8.х—6. |
||
2. Построить |
квадратные параболы: |
у —0,5хг; |
_у=— -х* + Ю; у = |
—0,8.x2 — 5.x — 8. |
кубические параболы: у = 2.x3 — 15; |
у —JC3 — 18JC*+20. |
|
3. Построить |
§ 3. Сведения из тригонометрии
Рассмотрим прямоугольный треугольник (фиг. 1.4, а) с катетами а п Ь,
а Ь
гипотенузой с и острымивуглами а и р . ^Отношения — и — называ-
Фиг. 1.4. Тригонометрические функции.
a) sin α= —, cosa= —-, tg a = — ; б) изображение тригономе-
трических функций на круге, радиус которого равен единице.
16