Глава IX

НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

§1. Основные допущения

Впредыдущей главе, § 1 и 3, было установлено, что при из­ гибе в поперечном сечении балки возникают нормальные напря­ жения о, создающие изгибающий момент М, и касательные τ, создающие поперечную силу Q. Сначала займемся определением нормальных напряжений. Рассмотрим случай изгиба, при кото­ ром касательные напряжения в поперечном сечении балки не возникают, т. е. случай, когда поперечная сила равна нулю. Так, например, при нагружении балки двумя одинаковыми момента­ ми взаимно противоположного направления (фиг. 9. 1) опорные реакции не возникают, и по всей длине поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент имеет постоянное значение. Такой случай изгиба, когда изгибающий момент постоянен, а попереч­ ная сила равна нулю, называется чистим изгибом. Это явление наблюдается и при других нагрузках. В условиях чистого изгиба находится, например, консоль при нагружении сосредоточенны­ ми моментами (фиг. 8. 16 и 8. 17), средняя часть балки на двух опорах (фиг. 8. 22) от действия двух симметричных сил и т. д. Вначале будем рассматривать балки постоянного сечения, имею­ щие хотя бы одну плоскость симметрии, совпадающую с пло­ скостью нагрузки (фиг. 8. 5). На фиг. 9. 2 изображен в увеличен­ ном масштабе участок балки прямоугольного сечения и показана се плоскость симметрии, которая одновременно является пло­ скостью нагрузки. Рассмотрим деформацию такой балки при чи­ стом изгибе ее парами сил, лежащими в плоскости симметрии. /Іо нагружения балки на ее боковой грани (фиг. 9. 3,а) проведем

близко друг к другу две линии 1—1 и 2—2 перпендикулярно к оси балки. Эти линии являются следами двух смежных попереч­ ных сечений, отстоящих друг от друга на очень малом расстоя­ нии Дх. Между этими сечениями на той же боковой грани про­ ведем прямые ab и cd, параллельные оси балки, одну вблизи нижнего, и другую вблизи верхнего края. До деформации все во­ локна, заключенные между параллельными сечениями, как вну-

251

тренние, так и на боковых гранях, равны между собой: ab=cd*■

— Ах. При изгибе балки ось ее искривляется, и одни волокна испытывают сжатие, а другие растяжение (фиг. 8.2). В рас­ сматриваемом нами случае чи-

1) линии 1—1 и 2—2 остаются прямыми и перпендикулярными оси балки, но наклоняются друг к другу и образуют малый угол

Сверху встречаются только сжатые волокна, а снизу только рас­ тянутые (фиг. 9.3,6). Следовательно, на каком-то уровне по

252

высоте балки обязательно встретится слой волокон, не изменяю­ щих своей длины. Этот слой называется нейтральным слоем. Он отделяет сжатую часть балки от растянутой и пересекает пло­ скость каждого поперечного сечения балки по прямой, которая называется нейтрально ,■линией. Так как по гипотезе плоских сечений все волокна каждого слоя, перпендикулярного к пло­ скости симметрии, деформируются одинаково, то и нейтральный слой, а вместе с ним и нейтральная линия перпендикулярны к

дается и при простом растяжении или сжатии бруса центральной продольной силой (фиг. 3.5). Следовательно,

волокна изгибаемой балки находятся в условиях простого растя­ жения и сжатия. Они свободно деформируются в поперечном на­ правлении, не нажимая при этом друг на друга. Таким образом результаты опытов на изгиб дают возможность принять следую­ щие предпосылки:

1)поперечные сечения остаются после деформации плоски­ ми и лишь поворачиваются около нейтральной оси (гипотеза плоских сечений);

2)продольные волокна испытывают простое (одноосное) рас­ тяжение и сжатие.

Эти предпосылки позволяют установить закон, по которому распределяются нормальные напряжения по поперечному сече­ нию балки.

§ 2. Распределение нормальных напряжений

При одноосном растяжении или сжатии между нормальным напряжением и относительным удлинением существует зависи­ мость, выражаемая законом пропорциональности [гл. Ill, § 2, формула (6)]:

a =Ez.

253

Чтобы выяснить изменение нормальных напряжений по сече­ нию балки, необходимо установить изменение удлинений воло­ кон при изгибе. Для этого рассмотрим малый элемент длиной АД", выделенный двумя очень близкими сечениями 1—1 и 2—2 (фиг. 9.3). После деформации балки оба торцевых сечения эле­ мента, оставаясь плоскими, повернутся около нейтральных осей, проходящих через точки Ох и 0 2, и образуют угол Л0, как пока­ зано на фиг. 9. 5, где изображен в увеличенном масштабе выде­

будет тем больше, чем дальше от нейтрального слоя расположено волокно и чем сильнее изгибается балка, т. е. чем больше ее кривизна. Выразим относительное удлинение в зависимости от расстояния у и от кривизны. Направления 1—1 и 2—2 пересе­ каются в точке С, которая является центром кривизны нейтраль­

Радиус кривизны р зависит от того, насколько сильно изгибает-

254