2. Краткие сведения из теории вероятностей ...

Распределение случайной величины - функция, которая однозначно оп­ределяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное зна­чение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.

В математике используют два способа описания распределений случай­ных величин: интегральный (функция распределения) и дифференциальный (плотность распределения).

Функция распределения F(x)- функция, определяющая для всех действи­тельных х вероятность того, что случайная величина X принимает значение не больше, чем х

F(x) = P(X < x). (2.3)

Функция распределения F(x) имеет следующие свойства (рис.2.1, а):

1. Ее ордината, соответствующая произвольной точке х^, представляет собой вероятность того, что случайная величина X будет меньше, чем xi, т.е. Г(х\) = Р(Х< xi).

2. Функция распределения принимает значение, заключенное между ну­лем и единицей:

О < F\x)< 1. (2.4)

3. Функция распределения стремится к нулю при неограниченном уменьшении х и стремится к единице при неограниченном возраста­ нии х, то есть

lim F(x) = 0, lim F(x) = 1. (2 5)

4. Функция распределения представляет собой монотонно возрастаю­ щую кривую, то есть

Г(хг)>Г(х\), если x₂>xi. (2.5а)

5. Ее приращение на произвольном отрезке (x-ь х₂) равно вероятности того, что случайная величинах попадет в данный интервал:

Fyxzj-Fyxy) =P(X<x₂)-P(X<x_[) =P(xу <X<x^)_ш (2.6)

F(x)

а 20 б

F(x)

2. Краткие сведения из теории вероятностей ...

Рассмотрим, какие особенности имеют функции распределения дис­кретных случайных величин. Пусть X - дискретная случайная величина, прини­мающая возможные значения x_1t х₂,..., х_п с вероятностями p_1t р₂, ..., р_п ■ Функ­ция распределения вероятностей этой случайной величины X равна

F(x) = Р(Х < х) = / \р_к,

х_к

где производится суммирование вероятностей всех возможных значений случайной величины X, меньших чем х. Такая функция всегда разрывная, сту­пенчатая (рис.2.1, б): от -оо до xi включительно функция равна нулю, в точке х₁ происходит скачок на величину рь и функция остается постоянной до х₂ вклю­чительно и т.д., то есть возможным значениям случайной величины соответст­вуют скачки функции, равные вероятностям этих значений. Последний скачок на р_п происходит в точке х_п, и функция равна единице от х_п до +оо. Таким обра­зом, сумма всех скачков равна единице.

Плотность распределения f(x) - первая производная (если она существу­ет) функции распределения.

. / \ dF (х )

J\x)⁼;• (2.7)

ах

21

2. Краткие сведения из теории вероятностей ...

Плотность функции распределения f(x) имеет следующие свойства (рис.2.2):

x₁ dx M_x M₀ M_e

Х2

X

Рис.2.2. Дифференциальный закон распределения плотность распределения f(x)

1. Плотность распределения вероятностей является неотрицательной функцией, т.е.

Л*№ (2.8)

Это свойство справедливо, так как F(x) есть неубывающая функция.

2. Функция распределения случайной величины X равна определенному интегралу от плотности распределения вероятностей в пределах (-оо, х):

а

F(х^ = \ f (х) dx

(2.9)

3. Вероятность события, состоящая в том, что случайная величина X примет значение, заключенное в полуинтервале [xi ,х₂ ], равна опре­деленному интегралу от плотности распределения вероятностей на этом полуинтервале:

X

P(xj < X < х₂)= F(x₂)-F(x₁)= [f(x)dx

(2.10)

22

X