3.4.2. Критерий Диксона

В критерии Диксона применяется статистика:

• если подозрительная «чужеродная» точка имеет наибольшее значе­ ние,

х —х _■

г. . = ^!LJ, (3.42)

' x n-x_J+1

• если подозрительная «чужеродная» точка имеет наименьшее значе­ ние,

76

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Г- ■ =

^хм - ^хх

(3.43)

^Хп_Ч~^ХХ

где х_п, x_n-i, x|+i - члены вариационного ряда xi< х₂^ хз... ^ х ...<х_п.

Диксоном были получены распределения для г-\₀, Гц, г^₂, /20, /21 и г₂2 и по­строены таблицы для а = 0,1; 0,05; 0,01 и 0,005 при 3 ^ п < 30 [11].

Статистика

п-\

х_п -х,

используется для проверки максимального или минимального члена вариаци­онного ряда (одна грубая ошибка, альтернативная гипотеза Н/¹⁾ ) при 3 < п < 7. Если при том же объеме выборки предполагается наличие двух и более резко выделяющихся значений (альтернативная гипотеза Н/²⁾ ), то используется ста­тистика г₂о-

Статистики критерия Диксона, используемые при других объемах выбор­ки, приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3 Статистики критерия Диксона, используемые при различных объемах выборки п

Объем выборки п	Число грубых погрешностей
	одна две и более
3...7 8...10 11...13 14...30	^10 Гц /21 /22	/20 /20 /21 /22

Критическая область в критерии Диксона выглядит аналогично критерию Н.В. Смирнова и включает значения

Гц> (/"ij)a,n, (3.44)

где (гу)а,п -табличные значения (см. [11] или табл. П.8).

Рассмотрим небольшой пример.

Пример 3.3. Пирометром измеряется температура поверхности нагрето­го тела (например, прокатываемой заготовки, причем будем предполагать, что

77

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

температура ее видимой поверхности во всех точках одинакова). Было прове­дено шесть измерений температуры 7 °С, и получены следующие значения: 925, 930, 950, 975, 990, 1080 (п = 6, причем, как видно, все значения приведены в возрастающей последовательности, т.е. в виде вариационного ряда 7=925 < 72=930 ^ 7з =950... ^7б=1080). Можно ли значение 7б=1080 считать грубой по­грешностью, полученной, допустим, в результате неправильной регистрации показаний пирометра?

Для ответа на поставленный в этом примере вопрос предварительно вы­числим оценки параметров распределения исследуемой случайной величины Т (предполагая, что она не противоречит нормальному закону распределения):

выборочное среднее арифметическоеГ и выборочное среднее квадратичное отклонение Sj:

Т = y]T_t = (925+ 930+ 950+ 975+ 990+ 1080)/6 = 915;

2 1 V^2 1 f V^ Y 1 г„^2 2 2 2 2 2ч

S_T = Xi ; 2j ; ⁼ L("25 +930 +950 +975 +990 +1080 )-

n-l[_i=i n{_i=1 ) 6-1

1 ?!

— (925 + 930 + 950 + 975 + 990 + 1080) J = 3280; 6

S_T = +д/5'г ⁼ +Л/3280 = 57,27.

В электронных таблицах Microsoft Excel для этих расчетов можно было бы использовать две статистические функции СРЗНАЧ

(925;930;950;975;990;1080) =975 и СТАНДОТКЛОН (925;930;950;975;990;1080)= 57,27128.

Теперь воспользуемся предложенным выше алгоритмом проверки стати­стических гипотез.

1. Формулируем нулевую гипотезу Н₀: "Среди значений 925; 930; 950; 975; 990; 1080 нет грубых погрешностей".

2. Исходя из условий примера 3.2, выбираем следующую альтернативную ги­потезу Н-|⁽¹⁾ : "Значение 1080 является (одной) грубой погрешностью".

3. Сформулированная нулевая гипотеза Н₀ может быть проверена по любому из приведенных в этом разделе критериев, т.е. как по критерию Н.В. Смир-

78

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

нова, так и по критерию Диксона (хотя в литературе могут быть найдены и другие критерии). Для начала остановимся на критерии Н.В. Смирнова.

4. Значение статистики критерия Н.В. Смирнова в примере 3.2 равно (см. (3.40))

Т₆-Т 1080-975 и₆ = = = 1,83.

s_T 57,27

5. Уровень значимости а примем равным 0,05.

5. По табл. П.7 при а = 0,05 и п = 6 находим t/o,os;6 = 1,82, и с использованием (3.41) строим критическую область со: ив > Wo,o5;6, т.е. ив > 1,82.

6. Принимаем решение: поскольку значение статистики (1,83 > 1,82) попало в критическую область - нулевая гипотеза отвергается, и в качестве рабочей принимается альтернативная гипотеза, т.е. значение 1080 с вероятностью 0,95 (уровень значимости, не превышает 0,05) по критерию Н.В. Смирнова можно считать грубой погрешностью.

Интересно отметить, что если бы на этапе 5 мы приняли а = 0,01, по таб­лицам критерия Н.В. Смирнова t/o,oi;6 = 1,94 и подсчитанное значение статисти­ки при этом уровне значимости , то оно не попало бы в критическую область (1,83<1,94). Следовательно, при а = 0,01 мы не можем отвергнуть нулевую ги­потезу, т.е. по критерию Н.В. Смирнова с вероятностью 0,99 (надежностью, достоверностью) мы не можем сказать, что значение 1080 является грубой по­грешностью.

В завершение данного примера рассмотрим, как бы выглядели наши рас­четы, если на этапе 3 мы бы остановились на критерии Диксона.

4. При п = 6 и альтернативной гипотезе, что имеется только одна грубая по­грешность, в критерии Диксона используется статистика г₁₀ (см. табл. 3.3), значение которой в примере 3.2 (см. (3.43)):

Т₆-Т_6Ч Т₆ -Т₅ 1080-990

0,581.

Т₆-T_0+l Т₆-Tj 1080-925

5. Уровень значимости а примем равным 0,05.

6. По табл. П.8 при а = 0,05 и п = 6 находим (гю)о,о5;б = 0,560, и с использовани­ем (3.44) строим критическую область со: Гю > (гю) о,о5;б, т.е. Гю> 0,560.

79

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

7. Принимаем решение: поскольку значение статистики (0,581 > 0,560) попало в критическую область - нулевая гипотеза отвергается, и в качестве рабочей принимается альтернативная, т.е. значение 1080 с вероятностью 0,95 и по критерию Диксона можно считать грубой погрешностью.

Заметим, однако, как и по критерию Н.В. Смирнова, высказать подобное утвер­ждение с вероятностью 0,99 по критерию Диксона мы не имеем права, посколь­ку по таблицам (г10) 0,01 ;6 = 0,698.