4. Анализ результатов пассивного эксперимента...

а - функциональная связь; б - отсутствие связи

3. Чем ближе расположены экспериментальные данные к линии регрес­сии, тем теснее связь, тем меньше остаточная дисперсия и тем больше корре­ляционное отношение.

Следовательно, корреляционное отношение может изменяться в преде­лах от 0 до 1.

Учитывая, что для компьютеров имеются пакеты программ для статисти­ческой обработки результатов исследований, рассмотрим методологию этого подхода на примере простейших линейных и одномерных задач (см. уравнение (4.5)). Идеология решения более сложных задач принципиально не отличается. Более того, как мы увидим в дальнейшем, многие нелинейные зависимости можно свести к линейным.

4.4. Линейная регрессия от одного фактора

Уравнение линии регрессии на плоскости в декартовых координатах имеет вид выражения (4.5).

Задачу метода наименьших квадратов аналитически можно выразить следующим образом:

П ~

Ф(Ьо,Ь^)= X[y i ^-(b() + bjxj)] —> min . (4-13)

i=l ^0,bj

Для решения этой задачи, как известно из математического анализа, не­обходимо вычислить частные производные функции Ф по коэффициентам b₀, bi и приравнять их нулю:

<90(bn,bi) <90(bn,bi)

—— = 0; —— = 0. (4.14)

Система нормальных уравнений (4.8) в этом случае примет вид

129

4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…

п ft ft

2_j[y_f —(b_Q +b_xx_t)\ = 0; nb₀ + b_} / x. = /_ly_i,

f-i

f-i

^{n n n n}

¹^[y_i-(b_Q-\-b_lx_i)]-x_i = 0; b₀ ^jc_f+Z>₁ ^jc? =^х_{у_г

f-i

f-i

f-i

. '-1

(4.15)

Решение этой системы относительно bo и bi дает

bg

п п ₉ п п

Zyi Z(xi) ~Z(xiyi)Zxi

i=l

i=l

Л2 n ]

Zx i

U=i J

i=l i=l

n ^

n Yj (xi) i=l

(4.16)

n

n

"l

n

n n

n Zx i y i ~ Zx i Zy i Z(x i ^_x)(y i ~ y)

i=l

i=l

i=l i=l

Л2 n |

Zx i

n

11 r>

n X (xi) i=l

Z(xi ^_x) i=l

(4.16a)

т.е. для

расчета b₀ и bi необходимо определить Zx i>ZybZx i ybZ(x i)²-

Коэффициент bo (свободный член уравнения регрессии) геометрически представляет собой расстояние от начала координат до точки пересечения ли­нии регрессии с осью ординат, а коэффициент bi характеризует тангенс угла наклона линии регрессии к оси ОХ.

Если же определяют уравнение регрессии в виде у = Ьо +Ь]х + Ъцх , то система уравнений для нахождения bo, bi, Ьц будет иметь следующий вид:

/\у. =b_Qn + b_l2^x_i +b_u/_txf

i-\

i-\

i-\

tx.y.=botx.⁺bitx*⁺butx

l-\

П

f-i i-\ i-\

n n n n

cf+b^+b^t

f-i i-\ i-\

l-\

(4.166)

Из уравнений (4.15) и (4.166) вытекает правило записи любых систем нормальных уравнений: необходимо записать столько уравнений в системе,

130

4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…

сколько неизвестных коэффициентов содержится в искомом уравнении, всякий раз суммируя произведения членов исходного уравнения на переменную при искомом коэффициенте.

Оценку силы линейной связи осуществляют по выборочному (эмпириче­скому) коэффициенту парной корреляции г_ху. Выборочный коэффициент корре­ляции может быть вычислен двумя способами.

1. Как частный случай корреляционного отношения для линейного урав­ нения регрессии.

С учетом того, что у = Ь₀+Ь₁х,

о*2 1 Дп

Z[bo + bix i -bg -bjx] =b₁S x , (4-17)

величина отношения S y/S y будет равна

r xy = bjS x /S y , (4.18)

где S_x и S_y - выборочные средние квадратичные отклонения.

2. Как среднее значение произведения центрированных случайных вели­ чин, отнесенное к произведению их среднеквадратичных отклонений:

п п

Z(xi ~ x)(yi ~ У) Z(xi ~ x)(yi ~ У)

i=l i=l л(\\

(n-l)S x S y

г_Ху = = —j =. (4. I У]

n „ n

Z(xi^_x) Z(yi~y) i=l i=l

\

Покажем, что две последние формулы эквивалентны. Для этого преобра­зуем выражение (4.19) к виду

п

Z(xi -х)(у{ -у) = r_Xy(n-l)SxSy. i=l

Подставляя последнее выражение в формулу (4.16а), имеем

г (n-l)S_xS hS

!?

V (Х; - Х)^{1 У}

г (п- 1)5* S ^ъ\= = rxyS_y/S_x, откуда г^

131