4. Анализ результатов пассивного эксперимента…

ленных переменных и случайных воздействий, не вошедших в уравнение рег­рессии;

2. результаты наблюдений у_ь у₂,..., у,..., у_п над выходной величиной представляют собой независимые нормально распределенные случайные ве­личины;

3. при проведении эксперимента с объемом выборки п при условии, что каждый опыт повторен т* раз, выборочные дисперсии Si²,..., Si²,..., S_n² должны быть однородны. При выполнении измерений в различных условиях возникает задача сравнения точности измерений. При этом следует подчеркнуть, что экс­периментальные данные можно сравнивать только тогда, когда их дисперсии однородны. Это означает, как уже отмечалось (см. п. 3.5.1 и 3.5.2), принадлеж­ность экспериментальных данных к одной и той же генеральной совокупности. Напомним: однородность дисперсий свидетельствует о том, что среди сравни­ваемых дисперсий нет таких, которые с заданной надежностью превышали бы все остальные, т.е. была бы большая ошибка. При одинаковом числе парал­лельных опытов однородность дисперсии, как мы уже показали, можно оценить по критерию Кохрена, а для сравнения двух дисперсий целесообразно восполь­зоваться F-критерием Фишера (см. примеры 3.4-3.5).

После того как уравнение регрессии найдено, необходимо провести ста­тистический анализ результатов. Этот анализ состоит в следующем: проверя­ется значимость всех коэффициентов и устанавливается адекватность уравне­ния.

137

4. Анализ результатов пассивного эксперимента...

4.5.1. Проверка адекватности модели

При моделировании приходится формализовать связи исследуемого яв­ления (процесса), из-за чего возможна потеря некоторой информации об объ­екте. Иногда некоторые связи не учитываются. В то же время основное требо­вание к математической модели заключается в ее пригодности для решения поставленной задачи и адекватности процессу. Регрессионную модель назы­вают адекватной, если предсказанные по ней значения у согласуются с ре­зультатами наблюдений. Так, построив модель в виде линейного уравнения регрессии, мы хотим, в частности, убедиться, что никакие другие модели не да­дут значительного улучшения в описании предсказания значений у. В основе процедуры проверки адекватности модели лежат предположения, что случай­ные ошибки наблюдений являются независимыми, нормально распределенны­ми случайными величинами с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями.

Сформулируем нуль-гипотезу Н₀: "Уравнение регрессии адекватно".

Альтернативная гипотеза Hi: "Уравнение регрессии неадекватно".

Для проверки этих гипотез принято использовать F-критерий Фишера.

При этом общую дисперсию (дисперсию выходного параметра) S_y² срав­нивают с остаточной дисперсией S_y0CT².

Напомним, что

Ьу,-уГ

S2 = ^ ;

^у п-1

Ъу,-уУ

S2 =—1

п-1

(4.24)

где /=/с+1 - число членов аппроксимирующего полинома, а /с- число факторов. Так, например, для линейной зависимости (4.5) /с=1,1=2.

В дальнейшем определяется экспериментальное значение F-критерия

138

4. Анализ результатов пассивного эксперимента...

F = Sy/Sy_QCT, (4-25)

который в данном случае показывает, во сколько раз уравнение регрессии

1 -^ ^ предсказывает результаты опытов лучше, чем среднее y =2__ly_l =С = const.

Если F>F_a;mi_;m2, то уравнение регрессии адекватно. Чем больше значение F превышает F_a;mi_;m2 для выбранного а и числа степеней свободы ггн=/7-1, т₂=/7-/, тем эффективнее уравнение регрессии.

Рассмотрим также случай, когда в каждой i-й точке * для повышения на­дежности и достоверности осуществляется не одно, а т* параллельных изме­рений (примем для простоты, что т* одинаково для каждого фактора). Тогда число экспериментальных значений величины у составит n_E=nm*.

В этом случае оценка адекватности модели производится следующим образом:

т* I

1) определяется у. = ^Уу т* - среднее из серии параллельных опытов

/-1 /

при х=х, где уу - значение параметра у при х=х в j-м случае;

2) рассчитываются значения параметра у{ по уравнению регрессии при

х=х;

3) рассчитывается дисперсия адекватности

п

г i

2 Ы

ад

п-1

где п - число значений х; / - число членов аппроксимирующего полинома (ко­эффициентов Ь), для линейной зависимости /=2;

4) определяется выборочная дисперсия Y при х=х:

ЬуУуУ

Л. ;

т*-1

5) определяется дисперсия воспроизводимости

139