3.5.2. Проверка однородности нескольких дисперсий

Критерий Фишера используется для сравнения только двух дисперсий, однако на практике приходится сравнивать между собой три и более диспер­сий.

При сопоставлении дисперсий ряда совокупностей нулевая гипотеза за­ключается в том, что все к совокупностей, из которых взяты выборки, имеют равные дисперсии.

1. Но: о² = о₂² = о² = ... = о² =сг²,

т.е. проверке подлежит предположение, что все эмпирические дисперсии Si², S2², ..., Sk² относятся к выборкам из совокупности с одной и той же гене­ральной дисперсией а².

Пусть среди нескольких серий измерений обнаружена такая, выборочная дисперсия которой S²_max заметно больше всех остальных. Задача заключается

86

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

в том, чтобы выяснить, можно ли считать отличие выделенной дисперсии S²_max существенным. Другими словами, альтернативная гипотеза может быть выбра­на как

2. Н-ь О²max > О².

3. При равном объеме п₁ = п₂ = п₃= ... = п_к= п всех к выборок может быть использован так называемый критерий Кохрена (в ряде книг пишется -Кочрена).

4. Статистика критерия Кохрена G рассчитывается как отношение S²_max к сумме всех выборочных дисперсий:

^ О max

О =

±*

(3.47)

5. В дальнейшем для выбранного уровня значимости а определяется табличное значение этого критерия, которое зависит от числа степеней свобо­ды т = п - 1 и числа сравниваемых дисперсий k - G_a:m:k (см. [11] или табл. П.9).

6. Критическая область строится как G > G_a;m;k.

7. При G < G_a:m;k гипотеза Н₀: о² = о₂² = о²- ... - о² -о² принимается в качестве рабочей, т.е. отличие выделенной дисперсии S²_max считается несуще­ственным.

В случае подтверждения однородности дисперсий можно сделать оценку обобщенной дисперсии о² :

к

Хп2

2 Ы

к (3.48)

Пример 3.5. Шестью (/с = 6) приборами произведено по семь измерений (п = 7) одного и того же параметра, при этом получены следующие выборочные дисперсии S,²: 3,82; 1,7; 1,3; 0,92; 0,78; 0,81. Можно ли считать, что разброс по­казаний первого прибора (S²_max=3,82) существенно превышает разбросы пока­заний остальных пяти приборов?

5*

87

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

1. Нулевая гипотеза Н₀: о² = о₂² = о² = о² = о² = Стб² = о².

2. Альтернативная гипотеза Н^ о²^ > а².

1. Поскольку {п₁ = п₂ = п₃= п₄ = п₅ = п₆ = 7) все шесть выборок имеют оди­наковый объем, то может быть использован критерий Кохрена.

2. Значение статистики данного критерия в соответствии с уравнением (3.47) составит:

_, 3,82 3,82

G = = = 0,409.

3,82 +1,7 +1,3 + 0,92 + 0,78 + 0,81 9,33

5. Табличное значение этого критерия для уровня значимости а = 0,05, при числе степеней свободы для каждой из дисперсий т = 7-1 = 6 и числе сравниваемых дисперсий к- 6, равно G₀,o5;6;6=0,418 (табл.П.9).

6. Так как G < G_a;m;n, отклонение дисперсии S²_max = 3,82 от остальных нельзя (с вероятностью 0,95) признать существенным, и, следовательно, все дисперсии однородны (т.е. разбросы в показаниях всех шести приборов при­ мерно одинаковы).

Оценка обобщенной дисперсии:

2 г-₁ 933

S = — = = 1,56.

^1

к 6

Критерий Кохрена можно использовать только в тех случаях, когда все сравниваемые дисперсии имеют одинаковое число степеней свободы т = п -1 (одинаковые объемы выборок п₁ = п₂ = п₃= ... = п_к= п). Если же число измере­ний п в различных сериях неодинаково, то для проверки однородности диспер­сий можно выбрать, например, критерий Бартлета. При необходимости с про­цедурой его использования можно познакомиться в литературе по теории веро­ятности и математической статистике (см. например, [9,10]).