3.2. Оценивание с помощью доверительного интервала

В отличие от точечной оценки, интервальная оценка позволяет получить вероятностную характеристику точности оценивания неизвестного параметра.

Идея оценивания с помощью доверительного интервала заключается в том, чтобы в окрестности точечной оценки попытаться построить такой интер-

50

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

вал (доверительный интервал), который с некоторой, отличной от нуля, вероят­ностью (доверительной вероятностью) накрыл бы оцениваемый параметр рас­пределения.

Доверительный интервал - интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.

Доверительная вероятность - вероятность того, что доверительный ин­тервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выбо­рочным данным.

Оценивание с помощью доверительного интервала - способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы до­верительного интервала.

Предположим, что для оценки параметра 0 удалось найти две функции 01*(х-|, х₂, ..., х_п) и 02*(xi, х₂, ..., х_п), такие, что при всех (x-i, х₂, ..., х_п) и при любых значениях 0 выполняется условие

01 < ©2 ;

/ *( \ *( \ (3.17)

PJ0l(x1 ,x2 ,...,x_n)<0<02(x1 ,x2 ,...,x_n)j=l-a.

Это означает, что действительное значение параметра 0 находится в ин­тервале значений (01*;02*) с вероятностью Р.

Интервал (01*;02*) как раз и называют доверительным интервалом для неизвестного параметра 0, а соответствующую ему вероятность Р{01*<0<0₂*} -доверительной вероятностью (или надежностью) Р=1-а, где а - уровень значи­мости. Если, к примеру, a = 0,05, то строится доверительный интервал с дове­рительной вероятностью 0,95 (или 95-процентный доверительный интервал).

Часто доверительный интервал находится как интервал, симметричный относительно точечной оценки параметра. Для симметричного доверительного интервала его ширина 25 определяется условием

р|е-ё1*а}=.-«. ₍₃,8,

где 0 * - точечная оценка параметра 0.

51

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

При фиксированном значении а (вероятности того, что доверительный интервал не накроет действительного значения параметра) чем меньше б, тем точнее оценивается 0.

Вероятностное утверждение Р{0₁*<0<0₂*} не следует понимать таким образом, что параметр 0 есть случайная величина, которая с вероятностью Р попадет в интервал между 01* и 0₂*.

Любой параметр распределения 0 (в отличие от его оценок) - это детер­минированная величина, неизвестная нам, но имеющая строго определенное, фиксированное значение (которое, по крайней мере, теоретически, может быть найдено при исследовании всей генеральной совокупности). Границы в:* и 0₂* (как некоторые функции от результатов наблюдений) есть случайные величи­ны. Поэтому утверждение P{01*<0<0₂*} = Р означает, что для данного довери­тельного интервала (01*;0₂*) вероятность содержать значение 0 равна Р.

Рассмотрение способов получения интервальных оценок для основных параметров распределения начнем с построения доверительного интервала для математического ожидания, так как именно такие задачи наиболее часто встречаются в инженерной практике.