6.3.6. Разработка математической модели гидравлического режима методической печи

В качестве примера рассмотрим разработку математической модели гидравлического режима четырехзонной методической печи с использованием теории планирования эксперимента. При планировании опытов используем ме­тодику проведения дробного факторного эксперимента (ДФЭ) первого порядка с двухуровневым варьированием факторов.

Перед разработкой плана эксперимента на основе априорной информа­ции были выявлены факторы, влияющие на величину давления в томильной зоне печи. К числу таких факторов относятся расходы топлива на каждую зону нагрева и угол поворота дымового клапана. Расходы воздуха на каждую зону в

175

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

качестве факторов не фигурировали, поскольку схема управления горением то­плива автоматически меняет расход воздуха при изменении расхода газа.

Обозначим факторы: X, — расход газа в томильной зоне, м³/ч; Х₂ — рас­ход газа во второй сварочной зоне, м³/ч; Х₃ — расход газа в первой сварочной зоне, м³/ч; Хд — расход газа в нижней сварочной зоне, м³/ч; Х₅ — положение дымового клапана, % хода исполнительного механизма (рис.6.2).

Рис.6.2. Положение факторов (Х_ь ..., Х₅) и отклика (Y) при проведении исследования на методической печи

Реализация ПФЭ в этом случае при варьировании всех факторов на двух уровнях потребовала бы постановки 2⁵=32 опытов.

Будем предполагать, что эффекты взаимодействия факторов в иссле­дуемом объекте маловероятны и пренебрежимо малы. Воспользуемся 1/4 реп­ликой ПФЭ, т.е. ДФЭ типа 2⁵"², где формально 2 фактора заменены соответст­вующими произведениями остальных факторов (X4=xi х₂, x₅=xi х₂ Хз). Это позво­лит сократить число опытов до 2³=8. Уровни варьирования факторов представ­лены в табл. 6.6.

Таблица 6.6 Уровни варьирования факторов

Уровни факторов	Факторы
	X-i, м3/ч	х2, м3/ч	Хз, м3/ч	Хд, м3/ч	Хб, % хода ИМ
Основной (нулевой)	5250	3900	2650	1100	74
Нижний	4000	3100	1750	700	50
Верхний	6500	4700	3500	1500	98
Интервал варьирования	1250	800	900	400	24

176

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

В табл. 6.7 приведены матрица планирования ДФЭ 2⁵"² и результаты экс­перимента — значения выходной переменной (давления в томильной зоне ме­тодической печи).

Для обработки результатов эксперимента используем методику, изло­женную ранее в параграфе 4.5.

1. Расчет построчных средних:

y jl+y j 2+- + y j m*

У i = j

J m*

где m* — число повторных опытов (m*=2). Например,

(-2,6) + (-2,5)

2

-2,55.

Результаты расчета представлены в табл. 6.7.

Таблица 6.7 Матрица ДФЭ 2⁵-² с двумя параллельными опытами

						Переменная состояния (отклик), кПа				Построчная дисперсия щ
						Опы т 1	Опы т 2	Сред­нее	Мо­дель
Хо	Xi	х2	Хз	Хд	Хб	У1	Y2	у.	Уi
1	1	1	1	1	1	-2,5	-2,6	-2,55	-2,41		0,005
1	-1	1	1	-1	-1	2,2	2,3	2,25	2,26		0,005
1	1	-1	1	-1	-1	5,1	4,7	4,90	4,74		0,080
1	-1	-1	1	1	1	-1,1	0,5	-0,30	0,08		1,280
1	1	1	-1	1	-1	2,1	2,3	2,20	2,26		0,020
1	-1	1	-1	-1	1	-2,0	-2,4	-2,20	-2,41		0,080
1	1	-1	-1	-1	1	0,0	0,8	0,40	0,08		0,320
1	-1	-1	-1	1	-1	4,2	5,1	4,65	4,74		0,405

2. Определение построчных (выборочных) дисперсий:

s2 =

т* -\

', S₁

(-2,5 - (-2,55))² + (-2,6 - (-2,55))" 2-1

0,005.

Аналогично S₂²=0,005; Бз²=0,08; S4²=1,28; Ss²=0,02; S6²=0,08; S7²=0,32; S₈²=0,405. Сумма построчных (выборочных) дисперсий:

Se²=0,005+0,005+0,08+1,28+0,02+0,08+0,32+0,405=2,195.

177

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

3. Определение однородности дисперсий по критерию Кохрена:

2

_ Symax 1,28

и_жсй =^ = = 0,5831.

Sj. 2,195

Далее по табл. П.9 находим G_a;m;n. Для a=0,05, m=m*-1=2-1 и n=8 значе­ние G0,05;1;8=0,6798. Поскольку G_3KCn< G_Teo_P, то дисперсии однородны.

4. Определение коэффициентов в уравнении регрессии:

п

y=i - 2,55 + 2,25 + 4,9 - 0,3 + 2,2 - 2,2 + 0,4 + 4,65

о₀ = = = 1,169;

п 8

у \ у • х_х.

1 ы ^J -2,55-2,25 + 4,9 + 0,3 + 2,2 + 2,2 + 0,4-4,65

Ь_х = = 0,069;

п 8

п

/,у, ■ х₂

2,55 + 2,25 - 4,9 + 0,3 + 2,2 - 2,2 - 0,4 - 4,65

Ь₂ = = -1,244;

п 8

п

ZV ■ ' X, ,

1 /=i -2,55 + 2,25 + 4,9-0,3-2,2 + 2,2-0,4-4,65

о₃ = = = -0,094;

п 8

п

2_,у j' x₄j

1=1 -2,55-2,25-4,9-0,3 + 2,2 + 2,2-0,4 + 4,65

b₄ = = = -0,169;

п 8

п

У^_у. • x_5j

, ;=\ -2,55-2,25-4,9-0,3-2,2-2,2 + 0,4-4,65

о₅ = = = -2,331.

п 8

5. Проверка значимости коэффициентов регрессии. Предварительно оп­ределим дисперсию воспроизводимости (дисперсию отклика):

2

о2 i=i ^s 2,195

Ь = = = 0,2744.

ZC 2 j 1

n п 8

Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии

₂ S_Bn(,_n 0,2744 £7Г

S_b = = = 0,01715; S_b = JS_b = 0,131.

2 во

n-m* 8-2

Находим значение доверительного интервала для коэффициентов рег-рессии:

178

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

^Ab j⁼ta;m-S b-

Здесь m=n(m*-1)=8(2-1)=8, тогда теоретическое значение критерия Стью-дента t₀,05;8=2,31 (можно рассчитать, используя функцию электронных таблиц Microsoft Excel СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8)=2,31), откуда ЛЬр2,310,131=0,303. Из сопоставления доверительного интервала Abj с абсолютными значениями ко­эффициентов модели следует, что I bi | =0,069<0,303; | Ьз I =0,094<0,303 и I Ь>41 =0,1690,303. Эти коэффициенты оказались незначимы, а остальные зна­чимы. Таким образом, окончательное уравнение регрессии запишется в виде

у =1,169-1,244Х₂-2,331Х₅.

Результаты расчета выходных параметров по уравнению полученной модели у[ занесены в табл. 6.7.

6. Проверка адекватности полученной модели. Предварительно опреде­лим дисперсию адекватности:

I I

= ад

si

п-1 В нашем случае т*=2; /7=8; 1=3, и в результате имеем

5ад = 1(—2,55 + 2,41)² + (2,25 - 2,66)² + (4,9 - 4,74)² + (-0,3 - 0,08)

8-3

+ (2,2-2,26)² +(-2,2 + 2,41)² +(0,4-0,08)² +(4,65-4,74)²] = 0,1386.

С учетом ранее найденной выборочной дисперсии Sz²=2,195 определяем дис­персию воспроизводимости:

г.2 S_y 2,195

S_B0Cn = — = = 0,274.

n 8

Экспериментальное значение критерия Фишера следующее:

,_, S 0,1386

F_3KCII = = = 0,505.

^вош 0,2744

Теоретическое значение критерия Фишера F_am1m2 при а=0,05 можно опреде­лить по справочнику [11], табл. П.4 или с помощью встроенной функции элек-

179

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

тронных таблиц Microsoft Excel FPACnOBP. Для m₁=(n-l)=(8-3)=5 и m₂=n(m*-1)=8(2-1)=8 значение Fo,o5;5;8=3,69 (FPACnOBP(0,05;5;8)=3,69). Поскольку F_3Kcn< F_Teop, то полученная модель адекватна.