4. Анализ результатов пассивного эксперимента...

1 a ,• = -==, (4.23)

а математическое ожидание очень близко к числу, получающемуся после под­становки в формулу (4.22) вместо г_ху истинного значения коэффициента корре­ляции г_ху*. Эти свойства величины Z* позволяют просто оценить, в каких преде­лах может находиться истинное значение коэффициента корреляции, если по п опытам получены некоторые значения его выборочного значения (оценки) г_ху. Если граничное значение г_ху имеет тот же знак, что и г_ху*, то можно считать в первом приближении, что корреляционная связь между переменными досто­верна.

Пример 4.1. При обработке п=17 пар данных х и у выборочный коэффи­циент корреляции составил г_ху= - 0,94, т.е. величина у связана с х достаточно сильной причинной связью, близкой к функциональной зависимости. Требуется определить значимость и найти доверительный интервал выборочного коэф­фициента корреляции.

Определение значимости коэффициента г_ху

\ti-2 . . . V17-2 t = г , =0,94 . =10,6.

J^ — ir)² yl — (0,94)²

Критерий Стьюдента t₀,₀5;i5=2,13 (СТЬЮДРАСПОБР (0,05;15)=2,13145).

Поскольку t>t_a;n-2, то коэффициент корреляции существенен.

Определение доверительного интервала. По формулам (4.22) и (4.23)

определим величину Z*:

. 1, 1-0,94

Z =In = -1,73о

2 1 + 0,94

и ее среднеквадратичное отклонение:

1

S * - . - - 0,267. ■^ л/17 — 3

Зададимся вероятностью того, что истинное значение Z отличается от вычисленного на основании оценки коэффициента корреляции Z* не более чем на 8z. Учитывая нормальный закон распределения Z, имеем при вероятности:

90%: 5z=1,64Sz =1,670,267=0,438;

95%: §z=1,960,267=0,523;

99,7%: 5z=3,000,267=0,801.

135

4. Анализ результатов пассивного эксперимента…

Таким образом, истинное значение Z лежит в пределах Zi < Z < Z₂, где с вероятностью, например, 90%, Zi= -1,738-0,438= -2,176 и Z₂= -1,738+0,438= -1,300. Для заданных значений вероятностей значения Zi и Z₂ составят:

90%: Zi= - 2,176, Z₂= -1,300;

95%: Zi= - 2,261, Z₂= -1,215;

99,7%: Zi= - 2,539, Z₂= -0,937.

Этим значениям Zi и Z₂ соответствуют коэффициенты корреляции, полу­ченные из формулы (4.22). Чтобы определить численные значения коэффици­ентов корреляции из формулы (4.22), можно воспользоваться инструментом «Подбор параметра» из электронных таблиц Microsoft Excel (меню «Сер­вис/Подбор параметра...»). В результате получим следующее решение:

90%: r-i= -0,97, г₂= -0,86, т.е. -0,97<г_ху<-0,86;

95%: r-i= -0,98, г₂= -0,84, т.е. -0,98<г_ху<-0,84;

99,7%: r-i= -0,99, г₂= -0,73, т.е. -0,99<г_ху<-0,73.

Следовательно, доверительные интервалы подтверждают достаточно сильную причинную связь между анализируемыми параметрами.

Таким образом, корреляционный анализ устанавливает связь между ис­следуемыми случайными переменными и оценивает тесноту этой связи.

4.5. Регрессионный анализ

Ниже излагаются основные положения регрессионного анализа, приме­нение которого для обработки результатов наблюдений связано с меньшим числом ограничений, чем при корреляционном анализе. Как и корреляционный анализ, регрессионный анализ включает в себя построение уравнения регрес­сии, например, методом наименьших квадратов и статистическую оценку ре­зультатов. Если в регрессионном анализе расчет коэффициентов ведется теми же методами, например наименьших квадратов, то его теоретические предпо­сылки требуют других способов статистической оценки результатов.

При проведении регрессионного анализа примем следующие допущения:

1) входной параметр х измеряется с пренебрежимо малой ошибкой. По­явление ошибки в определении у объясняется наличием в процессе не выяв-

136