2. Краткие сведения из теории вероятностей ...

4. Интеграл плотности распределения в бесконечно большом интервале (-оо, + оо) равен единице:

1-ии

\f(x)dx = Р(- оо < X < +оо ) = 1,

(2.11)

так как попадание случайной величины в интервал -оо < Х< + оо есть достовер­ное событие.

В большинстве случаев при обработке экспериментальных данных, осно­вываясь на тех или иных предположениях (гипотезах) относительно свойств ис­следуемой случайной величины, удается записать функцию ее распределения (а следовательно, и плотность распределения как первую производную от функции распределения) с точностью до некоторых неизвестных параметров.

Например, для случайной величины, которая удовлетворяет так назы­ваемому нормальному закону распределения (закону распределения Гаусса), функцию распределения можно записать в виде

(х - М _х )

1

F (х) = —. \е ^{1 а х} dx, (2 12)

^2тгст2_х _i

а для случайной величины, имеющей, например, распределение Вейбу-ла-Гнеденко (используемое для описания результатов экспериментов в случае хрупкого разрушения металла, а также в испытаниях на многоцикловую уста­лость), функция распределения определяется следующим выражением:

к-х

н

b

F(x) = l-e ^{v с} , приХ>х_н,

F(x) = 0, при X < х_н. (2.13)

В функциях (2.12) и (2.13) константы М_х, о_х² и с, Ь, х_н являются парамет­рами распределений, причем первое из этих двух выражений относится к двух-параметрическому виду закона распределения, а второе, соответственно, - к трехпараметрическому.

Параметр распределения - постоянная, от которой зависит функция рас­пределения.

23

2. Краткие сведения из теории вероятностей ...

Следовательно, если известен вид функции распределения (каким-либо образом установлено, что случайная величина не противоречит тому или иному закону распределения), то для того, чтобы однозначно охарактеризовать слу­чайную величину, достаточно задать только лишь параметры ее распределе­ния.

Важнейшими параметрами распределения, задающими случайную вели­чину X, являются ее математическое ожидание М_х (характеризует центр рас­сеивания) и дисперсия о-х² (характеризует степень рассеивания).

Математическое ожидание М_х - среднее взвешенное по вероятностям значение случайной величины.

Для дискретной случайной величины математическое ожидание опреде­ляется выражением

Mx=T,xipi, (2.14)

i

где Xj- значения дискретной случайной величины, а р,- = Р(Х= х,).

Если в условиях примера 2.1 предположить, что р, ~ W-, (см. табл. 2.2), то для математического ожидания такой дискретной случайной величины, как число остановок доменной печи в течение месяца, можно получить следующее значение:

М_х = 20,06 + 30,11 + 40,17 + 50,33 + 60,22 + 70,11 = 4,87.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание опре­деляется интегралом

+00

M _x = \xf(x)dx, (2.15)

-ос

где f(x) - плотность распределения непрерывной случайной величины.

Можно отметить, что геометрический смысл математического ожидания непрерывной случайной величины - это абсцисса центра тяжести фигуры под кривой плотности распределения f(x). Сказанное проиллюстрируем на рис. 2.2, где видно, что произведение f(x)dx есть площадь элементарного участка под кривой f(x), а х - абсцисса этого участка, т.е. расстояние от начала координат.

24