- •Оглавление
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей
- •3. Предварительная обработка экспериментальных
- •7. Компьютерные методы статистической обработки
- •Предисловие
- •1. Эксперимент как предмет исследования
- •1.1. Понятие эксперимента
- •1. Эксперимент как предмет исследования
- •1. Эксперимент как предмет исследования
- •1.2. Классификация видов экспериментальных исследований
- •1. Эксперимент как предмет исследования
- •1. Эксперимент как предмет исследования
- •1. Эксперимент как предмет исследования
- •1. Эксперимент как предмет исследования
- •1. Эксперимент как предмет исследования
- •1. Эксперимент как предмет исследования
- •Контрольные вопросы
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2.2. Нормальный закон распределения
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей …
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •2. Краткие сведения из теории вероятностей ...
- •Контрольные вопросы
- •3. Предварительная обработка экспериментальных данных
- •3.1. Вычисление параметров эмпирических распределений. Точечное оценивание
- •3.2. Оценивание с помощью доверительного интервала
- •3.2.1. Построение доверительного интервала для математического ожидания
- •3.2.2. Построение доверительного интервала для дисперсии
- •3.2.3. Определение необходимого количества опытов при построении интервальной оценки для математического ожидания
- •3.3. Статистические гипотезы
- •3.4. Отсев грубых погрешностей
- •3.4.1. Критерий н.В. Смирнова
- •3.4.2. Критерий Диксона
- •3.5. Сравнение двух рядов наблюдений
- •3.5.1. Сравнение двух дисперсий
- •3.5.2. Проверка однородности нескольких дисперсий
- •3.5.3. Проверка гипотез о числовых значениях математических ожиданий
- •3.6. Критерии согласия. Проверка гипотез о виде функции распределения
- •3.7. Преобразование распределений к нормальному
- •Контрольные вопросы
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента. Эмпирические зависимости
- •4.1. Характеристика видов связей между рядами наблюдений
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента...
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4.2. Определение коэффициентов уравнения регрессии
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента...
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4.3. Определение тесноты связи между случайными величинами
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента...
- •4.4. Линейная регрессия от одного фактора
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента...
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4.5. Регрессионный анализ
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента...
- •4.5.1. Проверка адекватности модели
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента...
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4.5.2. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4.6. Линейная множественная регрессия
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •4.7. Нелинейная регрессия
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •Контрольные вопросы
- •4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
- •5. Оценка погрешностей результатов наблюдений
- •5.1. Оценка погрешностей определения величин функций
- •5. Оценка погрешностей результатов наблюдений
- •5.2. Обратная задача теории экспериментальных погрешностей
- •5. Оценка погрешностей результатов наблюдений
- •5. Оценка погрешностей результатов наблюдений
- •5.3.Определение наивыгоднейших условий эксперимента
- •5. Оценка погрешностей результатов наблюдений
- •Контрольные вопросы
- •6. Методы планирования экспериментов. Логические основы
- •6.1. Основные определения и понятия
- •6.2. Пример хорошего и плохого эксперимента
- •6.3. Планирование первого порядка
- •6.3.1. Выбор основных факторов и их уровней
- •6.3.2. Планирование эксперимента
- •6.3.3. Определение коэффициентов уравнения регрессии
- •6.3.4. Статистический анализ результатов эксперимента
- •6.3.5. Дробный факторный эксперимент
- •6.3.6. Разработка математической модели гидравлического режима методической печи
- •6.4. Планы второго порядка
- •6.4.1. Ортогональные планы второго порядка
- •6.4.2. Ротатабельные планы второго порядка
- •6.4.3. Исследование причин образования расслоений в горячекатаных листах
- •6.5. Планирование экспериментов при поиске оптимальных условий
- •6.5.1. Метод покоординатной оптимизации
- •6.5.2. Метод крутого восхождения
- •6.5.3. Симплексный метод планирования
- •Контрольные вопросы
- •7. Компьютерные методы статистической обработки результатов инженерного эксперимента
- •7.1. Общие замечания
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7.2. Статистические функции Microsoft Excel
- •7. Компьютерные методы статистической обработки ...
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7.3. Краткое описание системы statistica
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7.3.1. Общая структура системы
- •7. Компьютерные методы статистической обработки ...
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7.3.2. Возможные способы взаимодействия с системой
- •7. Компьютерные методы статистической обработки … 7.3.3. Ввод данных
- •7. Компьютерные методы статистической обработки ...
- •7.3.4. Вывод численных и текстовых результатов анализа
- •7.3.5. Статистические процедуры системы statistica
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7.3.6. Структура диалога пользователя в системе statistica
- •7. Компьютерные методы статистической обработки ...
- •7.3.7. Примеры использования системы statistica
- •7. Компьютерные методы статистической обработки ...
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •V, Least Squares
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7. Компьютерные методы статистической обработки …
- •7. Компьютерные методы статистической обработки … Контрольные вопросы
- •Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента
4. Анализ результатов пассивного эксперимента
у, = br, + b, х,;
(4.5а)
У п = ^о + Ьххп.
Если при выборе вида уравнения регрессии число его коэффициентов bj окажется больше числа уравнений (имеющихся результатов измерений) k+1>n, система (4.4) не будет иметь однозначного решения. В этом случае необходимо либо уменьшить число определяемых коэффициентов к+1, либо увеличить число опытов п.
Второй подход - метод наименьших квадратов. Усреднение несовместимых решений избыточной системы уравнений п>к+1 может быть преодолено методом наименьших квадратов, который был разработан еще Лежандром и Гауссом. Таким образом, метод наименьших квадратов - это «новинка» почти 200-летней давности. Сегодня, благодаря возможностям компьютеров, этот метод вступил, по существу, в полосу своего «ренессанса».
Определение коэффициентов bj методом наименьших квадратов основано на выполнении требования, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от соответствующих значений уравнения регрессии была минимальна. Заметим, что, в принципе, можно оперировать и суммой других четных степеней этих отклонений, но тогда вычисления будут сложнее. Однако руководствоваться суммой отклонений нельзя, так как она может оказаться малой при больших отклонениях отрицательного знака.
Математическая запись приведенного выше требования имеет вид
п 9
Ф(Ъ§,Ъ\,...,Ъ',,...,Ъ\) = ^[f(xj,bo,b^,...,bi,...,b]f) - yj] —> min, (4-6)
i=l bj
где n - число экспериментальных точек в рассматриваемом интервале изменения аргумента х.
Необходимым условием минимума функции O(bo,bi bj bk) является
выполнение равенства
дФ/дЪ\=0, 0<j<к (4.7)
или
125
4. Анализ результатов пассивного эксперимента…
Дг„ , ч -,<9f(x i ) .-,
2^Lt(x i?bo,bj,...,bi,...,b]^) — y{J = 0, 0 < j < k. (4-/a)
i=l д bJ
После преобразований получим
" 49f(x i ) Д df(x\) Л
2,[f(x i ,bo,bi,...,bi,...,b k) ZYi = 0- (4-8)
i=l abJ i=l abJ
Система уравнений (4.8) содержит столько же уравнений, сколько неизвестных коэффициентов bo, b-i,..., bk входит в уравнение регрессии, и называется в математической статистике системой нормальных уравнений.
Поскольку Ф>0 при любых bo, ..., bk, величина Ф обязательно должна иметь хотя бы один минимум. Поэтому если система нормальных уравнений имеет единственное решение, оно и является минимумом для этой величины.
Расчет регрессионных коэффициентов методом наименьших квадратов можно применять при любых статистических данных, распределенных по любому закону.
4.3. Определение тесноты связи между случайными величинами
Определив уравнение теоретической линии регрессии, необходимо дать количественную оценку тесноты связи между двумя рядами наблюдений. Линии регрессии, проведенные на рис. 4.1, б, в, одинаковы, однако на рис. 4.1, б точки значительно ближе (теснее) расположены к линии регрессии, чем на рис. 4.1, в.
При корреляционном анализе предполагается, что факторы и отклики носят случайный характер и подчиняются нормальному закону распределения.
Тесноту связи между случайными величинами характеризуют корреляционным отношением рху. Остановимся подробнее на физическом смысле данного показателя. Для этого введем новые понятия.
Остаточная дисперсия 5^ост характеризует разброс экспериментально
наблюдаемых точек относительно линии регрессии и представляет собой показатель ошибки предсказания параметра у по уравнению регрессии (рис. 4.6):
126
4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА...
s2 =f[y.-yT
у ост -, / X г i\
п -1
1
п-\-к
^[_у. - f {х1,Ъй,Ъ1,...,Ък)\г,
(-1
(4.9)
где /=/с+1 - число коэффициентов уравнения модели.
Общая дисперсия (дисперсия выходного параметра) S y характеризует
разброс экспериментально наблюдаемых точек относительно среднего значения у, т.е. линии С (см. рис. 4.6):
2 1
!S —
у п-1
11
2>, -у]
1=1
2
(4.10)
где у = !>;.
Ш i-i
Средний квадрат отклонения линии регрессии от среднего значения линии у = С (см. рис. 4.6):
1
а
1
а
П-1
i=l
11 /Л 11 Г)
XLy i~yJ = Zlj(xbbo,bi,...,b k )-yj .
i=l
П-1
(4.11)
Очевидно, что общая дисперсия S2y (сумма квадратов относительно среднего значения у) равна остаточной дисперсии S y0CT (сумме квадратов относительно линии регрессии) плюс средний квадрат отклонения линии регрессии Sy*2 (сумма квадратов, обусловленная регрессией).
127
4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА...
У ~ у ОСТ +^у ■
(4.11а)
Разброс экспериментально наблюдаемых точек относительно линии регрессии характеризуется безразмерной величиной - выборочным корреляционным отношением, которое определяет долю, которую привносит величина X в общую изменчивость случайной величины Y.
* Рху
у ~ йу ост
'У
=
>У
Т
=
Оу S y
(4.12)
Проанализируем свойства этого показателя.
1. В том случае, когда связь является не стохастической, а функциональной, корреляционное отношение равно 1, так как все точки корреляционного
поля оказываются на линии регрессии, остаточная дисперсия равна S
у ост
О,
a S y = S y (рис. 4.7, а).
2. Равенство нулю корреляционного отношения указывает на отсутствие какой-либо тесноты связи между величинами х и у для данного уравнения регрессии, поскольку разброс экспериментальных точек относительно среднего
значения и линии регрессии одинаков, т.е. S y =S y0CT (рис. 4.7, б).
Рис. 4.7. Значения выборочного корреляционного отношения рху:
128