8.4 Предел применимости формулы Эйлера.

Подставляя выражение (8.11) в выражение (8.1) получим формулу для определения критического напряжения:

(8.12)

где - минимальный радиус инерции сечения.

Величина равная называется гибкостью стержня.

Тогда формула для определения критического напряжения примет вид:

. (8.13)

Исследования показали, что формула Эйлера справедлива только при напряжениях меньших предела пропорциональности материала стержня _кр_nц, то есть в упругой области:

. (8.14)

Выразив из (8.14) получим , где λ - предельная гибкость стержня:

. (8.15)

Подставляя соответствующие значения модуля упругости и предела пропорциональности для данного материала, находим наименьшее значение гибкости, при которой еще можно пользоваться формулой Эйлера. Для стали 3 предел пропорциональности может быть принят равным σ_п = 200 МПа, поэтому, для стержней из этого материала можно пользоваться формулой Эйлера лишь при гибкости _пред.=100.

Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, с большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с малой гибкостью. Таким образом, надо найти способ вычисления критических напряжений и для тех случаев, когда они превышают предел пропорциональности материалов, например, для стержней из мягкой стали при гибкостях от 0 до 100.

В настоящее время важнейшим источником для установления критических напряжений за пределом пропорциональности, т. е. при малых и средних гибкостях, являются результаты экспериментов.

Прежде всего, надо выделить стержни с малой гибкостью, от 0 примерно до 30—40, их длина сравнительно невелика по отношению к размерам поперечного сечения. Например, для стержня круглого сечения гибкости 20 соответствует отношение длины к диаметру, равное 5. Для таких стержней трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы всего стержня в целом, в том смысле, как это имеет место для тонких и длинных стержней. Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет того, что напряжения сжатия в них будут достигать предела текучести σ_т (при пластичном материале) или предела прочности σ_в (при хрупких материалах).

Для длинных тонких стержней, у которых справедлива формула Эйлера:

.

Для стержней средней и малой гибкости были предложены различные эмпирические формулы, показывающие, что критические напряжения при таких гибкостях меняются по закону, близкому к линейному. Критическая сила для них находится по эмпирическим формулам Ясинского:

(8.16)

(8.17)

где a, b, c – эмпирические коэффициенты, зависящие от свойств материалов. Для Ст3: a=310 МПа, b=1,14 МПа; A_брутто  площадь сечения стержня без учета местных ослаблений, которые не влияют на потерю устойчивости.