Тестовые задания к главе 6

1. Какие площадки называются главными:

а) площадки, на которых касательные напряжения равны по величине;

б) площадки, на которых касательные напряжения равны нулю;

в) площадки, на которых нормальные напряжения отсутствуют;

г) нет правильного ответа.

2. На каком рисунке приведен пример линейного напряженного состояния:

а) б) в)

г) нет верного рисунка.

3. Выберите формулу для закона парности касательных напряжений:

а); б) ; в) ; г) нет верного ответа.

4. Напряженное состояние в точке - это:

а) совокупность нормальных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящих через рассматриваемую точку;

б) совокупность касательных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящих через рассматриваемую точку;

в) совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящих через рассматриваемую точку.

г) нет верного ответа.

5. Какое напряженное состояние называется трехосным?

а) напряженное состояние, при котором через точку нельзя провести ни одной площадки, на которой главные напряжения были бы равны нулю;

б) напряженное состояние, при котором через точку можно провести только одну площадку, на которой главные напряжения равны нулю;

в) напряженное состояние, при котором через точку можно провести две взаимно перпендикулярные площадки, на которых главные напряжения равны нулю.

г) нет правильного ответа.

6. Выберите формулу для определения экстремального касательного напряжения в точке:

а) ; б) ; в) .

г) нет правильного ответа.

7. Какая теория прочности основана на предположении, что разрушение материала происходит в результате отрыва и что поэтому опасное состояние наступает, когда наибольшее растягивающее напряжение достигает опасного значения :

а) Первая; б) Вторая; в) Единая; г)Третья.

8. Результаты каких испытаний стали эталоном прочности, с помощью которого устанавливается прочность материала?

а) одноосное растяжение (сжатие); б) чистый сдвиг; в) трёхосное растяжение (сжатие); г) нет верного ответа.

9.Какя теория прочности применяется для расчета конструкций из хрупких материалов?

а) Первая; б) Вторая; в) Третья; г) Энергетическая.

Ответы:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
б	б	а	в	а	б	а	а	б

Глава 7. Изгиб

7.1 Определение напряжений при чистом изгибе.

Рассмотрим чистый изгиб балки, при котором в ее поперечных сечениях возникают только изгибающие моменты М_x. Для определения напряжений и закона распределения их по поперечному сечению балки выполним опыт. Нанесем на боковую поверхность резинового бруса прямоугольного поперечного сечения сетку продольных и поперечных линий (рис. 7.1). Приложим к крайним сечениям бруса в главной плоскости изгибающие моменты.

Рис.7.1

После изгиба вертикали остались прямыми, но повернулись на угол. Одни продольные волокна оказались растянутыми (нижние), а другие сжатыми (верхние). Можно сделать вывод, что в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения σ_z. Горизонтальные линии искривились, но остались параллельными друг другу (σ_y=0).

Для вывода формулы нормальных напряжений на основании опыта, приняли следующие гипотезы:

1. При чистом изгибе выполняется гипотеза плоских сечений.

2. Продольные волокна друг на друга не давят, а испытывают деформацию растяжения-сжатия в продольном направлении.

3. Изменяясь по высоте балки, нормальные напряжения постоянны по ее ширине.

Слой волокон, длина которого при изгибе не меняется, называется нейтральным слоем, след его в поперечном сечении балки называется нейтральной или нулевой линией,  - радиус кривизны нейтрального слоя.

 Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz, который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 7.2. Ввиду малости dφ считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна аb, отстоящего от нейтрального слоя на расстояние у:

Абсолютная деформация слоя ab может быть определена из подобия треугольников:

. (7.1)

Относительная деформация выделенного слоя:

. (7.2)

Рис.7.2

Так как при чистом сдвиге имеет место растяжение - сжатие продольных волокон воспользуемся законом Гука:

. (7.3)

Продольная сила в поперечном сечении определяется интегралом:

Нейтральная ось совпадает с осью X, проходящей через центр тяжести поперечного сечения, а нейтральная плоскость совпадает с плоскостью XOZ следовательно S_x=0.

Изгибающий момент в поперечном сечении определится как:

.

(7.4)

Преобразуем (7.4) и подставим в (7.3): ,

. (7.5)

Формула (7.5) позволяет определить нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения. При вычислении σ значения М_x и y подставляют в формулу (7.5) без учета их знака. Знак напряжения в точке (растяжение или сжатие) определяют по ее расположению относительно нейтральной линии и эпюре изгибающих моментов.

Как показывает формула (7.5) величина нормального напряжения зависит от удаленности рассматриваемого слоя от нулевой линии:

при y=0; =0.

при y=h/2; =_max.

Таким образом, можно сделать вывод, что максимальные нормальные напряжения возникают в точках сечения наиболее удаленных от нейтрального слоя.

Введем геометрическую характеристику сечения W_x – осевой момент сопротивления сечения.

[см³]. (7.6)

Для прямоугольного сечения определим осевой момент сопротивления:

. (7.7)

Для круглого сечения:

, ,

. (7.8)

Для прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок и др.) осевой момент сопротивления определяется по таблицам сортамента. А для сечений сложной формы вычисляется по формуле (7.6).

Таким образом, максимальные напряжения при чистом изгибе могут быть определены по формуле:

. (7.9)

Знаки «+» или «-» определяются по деформации балки.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе записывается в виде:

а) для пластичных материалов:

. (7.10)

б) для хрупких материалов:

(7.11)

где y_{p max} и y_{c max} – расстояния наиболее удаленных от нейтральной линии точек сжатой и растянутой зон сечения.