§ 9.6. Связь определённого и неопределённого интегралов

Множитель 3 в этом неравенстве не играет существенной роли, поэтому необходимость условий теоремы доказана.

Достаточность легко получить, построив для функций ( ) и( ) ступенчатые функции ( ) и ( ) такие, что

( ) 6 ( ) 6 ( ) 6 ( )

и

∫

( ( ) − ( )) < .

Детали этого рассуждения приводить не будем.

Заметим, что функции ( ) и ( ) в теореме 9.5.2 можно считать имеющими любое число производных или даже бесконечно дифференцируемыми. Для этого в качестве фрагментов графиков функций ( ) и ( ) в окрестностях точек ( , ( )) нужно брать достаточно гладкие кривые, а не наклонные отрезки, как было в приведенном доказательстве.

§ 9.6. Связь определённого и неопределённого интегралов

Если функция интегрируема на отрезке [ , ], то согласно теореме 9.3.1 об аддитивности интеграла относительно промежутка интегрирования интегрируема на любом отрезке [ , ] при6 . Значит, на [ , ] можно определить интеграл с переменным верхним пределом интегрирования

∫

( ) := ( ) .

Будем изучать свойства функции ( ).

Теорема 9.6.1. Если на отрезке [ , ] функция ( ) интегрируема и | ( )| 6 , то для функции ( ) при всех ′, ′′ [ , ]

справедлива оценка

т.е. ( ) удовлетворяет условию Липшица первого порядка с константой . В частности, функция ( ) непрерывна на [ , ].

46 Гл. 9. Определ¨енный интеграл

Доказательство. Пусть и + – произвольные точки отрезка [ , ]. Тогда

∫ + ∫ ∫ +

( + )− ( ) = ( ) − ( ) = ( ) . (9.6.2)

Никаких условий на знак здесь не накладывается и верхний предел интегрирования может быть меньше нижнего.

Теорема доказана.

Отметим, что функция ( ) не обязательно имеет производную в каждой точке. Например, если на отрезке [−1, 1]

для [0, 1]

ифункция не имеет производной в нуле.

Теорема 9.6.2. Если интегрируемая на отрезке [ , ] функция ( ) непрерывна в некоторой точке 0 [ , ], то функция( ) верхнего предела интегрирования имеет в точке 0 произ-

водную и

′( 0) = ( 0).

Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента в точке 0. Если 0 + [ , ], то

В силу непрерывности в точке 0 для каждого > 0 существует > 0 такое, что | ( )− ( 0)| < , если | − 0| < . Поэтому, для | | <

[ ( ) − ( 0)] 6

Теорема доказана.

Если 0 – один из концов отрезка, то в этой теореме, как обычно, имеются в виду односторонняя непрерывность и односторонняя производная.

Из теоремы 9.6.2 вытекает следующее утверждение.

Следствие 9.6.3. Непрерывная на отрезке функция ( ) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция ( ) верхнего предела интегрирования.

О том, что каждая непрерывная функция имеет первообразную, было сказано в § 8.1.

Следствие 9.6.3 показывает, в частности, что теорема 4.3.3 Коши о промежуточных значениях (для непрерывных функций) вытекает из теоремы 6.1.3 Дарбу о промежуточных значениях. Об этом говорилось в § 6.1.

Теорема 9.6.4 (Формула Ньютона–Лейбница). Пусть на отрезке [ , ] функция ( ) интегрируема и имеет первообразную( ). Тогда справедливо равенство

∫

которое называют формулой Ньютона–Лейбница.

Доказательство. Пусть – разбиение отрезка [ , ] точками = 0 < 1 < · · · < = на отрезков [ −1, ] равной длины ( − )/ .

Имеем

∑

( ) − ( ) = ( ( ) − ( −1).

=1

Согласно формуле конечных приращений Лагранжа для каждого существует точка ( −1, ) такая, что

( ) − ( −1) = ′( ) − = ( ) − .

Таким образом,

Эта сумма является интегральной суммой Римана ( , ), где– набор точек 1, 2, . . . , .

Отсюда вытекает справедливость равенства (9.6.5). Теорема доказана.

Заметим, что первообразную могут иметь и неинтегрируемые функции. Например, функция ( ), заданная на [0, 1] формулами

( ) := 2 sin 12

при (0, 1] и (0) := 0, является первообразной неограниченной и, значит, неинтегрируемой функции

В этих обозначениях формула (9.6.5) имеет вид:

Формула Ньютона–Лейбница является одним из основных результатов интегрального исчисления и математического анализа вообще. Е¨е значение в том, что она связывает определ¨енный и неопредел¨енный интегралы и да¨ет возможность вычислять определ¨енные интегралы функций, для которых известна первообразная.

Следующее утверждение вытекает из формулы Ньютона– Лейбница.

Теорема 9.6.5. Если функция ( ) имеет на отрезке [ , ] непрерывную производную, то для [ , ] справедливо равен-

ство

∫

Равенство (9.6.6) решает задачу о восстановлении функции по е¨ производной, если производная непрерывна. Оно показывает, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями.

Отметим вместе с тем, что интеграл Римана не да¨ет полного решения задачи о восстановлении функции по производной, так как производная может быть, например, неограниченной. Восстановление функции по производной обеспечивает более общее понятие интеграла, изучение которого выходит за рамки настоящего курса.

Применим теорему 9.6.5 к вопросу о длине кривой в тр¨ехмерном пространстве. Согласно теореме 7.3.2, если кривая

= { ( ), [ , ]}

непрерывно дифференцируема, то функция ( ) – длина дуги кривой , когда параметр пробегает отрезок [ , ], 6 , – имеет непрерывную производную и

где ( ) = ( ( ), ( ), ( )).

Покажем, что в теореме 9.6.5 условия на функцию ( ) можно несколько ослабить.

Теорема 9.6.6. Равенство (9.6.6) справедливо, если функция( ) на отрезке [ , ] непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема, т.е. имеет кусочно непрерывную производную.

Доказательство. В силу наложенных на условий существует разбиение = 0 < 1 < · · · < = отрезка [ , ] такое, что производная ′( ) на каждом интервале ( −1, ) непрерывна и имеет конечные односторонние пределы в концах этих интервалов. Значит, согласно следствию 6.2.12 след функции ( ) на отрезке [ −1, ] является непрерывно дифференцируемой функцией.

Представим интеграл по отрезку [ , ] в виде суммы интегралов по отрезкам [ −1, ], в концах каждого из этих отрезков доопределим ′( ) по непрерывности и воспользуемся формулой (9.6.6). Тогда получим

Теорема доказана.

Возможно дальнейшее ослабление условий на функцию ( ), при которых справедливо равенство (9.6.6), но не будем здесь на этом останавливаться.

Применим основные при¨емы вычисления неопредел¨енных интегралов (интегрирование с помощью замены переменной и интегрирование по частям) к определ¨енным интегралам.

Теорема 9.6.7 (Формула замены переменной). Пусть функция ( ) на отрезке [ , ] непрерывно дифференцируема и все е¨

52 Гл. 9. Определ¨енный интеграл

Доказательство. Оба интеграла в (9.6.8) существуют как интегралы от кусочно непрерывных функций. Производные функций ( ) и ( ) не определены в конечном числе точек, но согласно теореме 9.3.5 их значения в этих точках можно задать произвольно.

Тождество

( ) ′( ) ≡ ( ( ) ( ))′ − ′( ) ( )

справедливо на вс¨ем отрезке [ , ], за исключением конечного числа точек, в которых производные функций ( ) и ( ) не существуют.

Проинтегрируем это тождество по отрезку [ , ]:

∫ ∫ ∫

( ) ′( ) = ( ( ) ( ))′ − ′( ) ( ) .

Так как в силу условий теоремы функция ( ) ( ) непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема, то согласно теореме 9.6.6

и мы получили равенство (9.6.8). Теорема доказана.

Формула интегрирования по частям (9.6.8) справедлива и при менее ограничительных условиях на функции ( ) и ( ), но сейчас нас ограничивает та степень общности, с какой была доказана теорема 9.6.6.

Используем формулу интегрирования по частям для получения ещ¨ одного представления остаточного члена формулы Тейлора в добавление к тем, какие были доказаны в § 6.4.

Предположим, что функция ( ) на отрезке с концами в точках 0 и имеет непрерывные производные до порядка > 1.

Согласно формуле Ньютона–Лейбница

∫

( ) = ( 0) + ′( ) .

0

Если > 2, то в силу формулы интегрирования по частям

∫

= ′( 0)( − 0) + ′′( )( − ) .

0

Если > 3, то этот интеграл проинтегрируем по частям ещ¨ раз:

Продолжая интегрирование по частям пока под знаком интеграла не будет получена производная ( ), приходим к равенству

(9.6.9) Поскольку равенство (9.6.9) получено с помощью интегрирования по частям, условие непрерывности производной ( ) можно ослабить и предполагать, что на отрезке с концами в точках и 0 непрерывна производная функции порядка −1, а производная

порядка кусочно непрерывна.

Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Теорема 9.6.9. Пусть на отрезке с концами в точках и0 функция непрерывна вместе со всеми своими производными