§ 14.2. Условный локальный экстремум |
183 |
в точке x0. Числа в формуле (14.1.1) можно было бы считать частными производными функции в смысле Пеано. О производных в смысле Пеано функций одной переменной говорилось
в§ 6.4.
§14.2. Условный локальный экстремум
В§ 14.1 рассматривались локальные экстремумы функций, когда значение функции в точке x0 сравнивалось с е¨ значениями во всех точках из достаточно малой окрестности x0.
Изучаются также локальные экстремумы, когда значение функции в точке сравнивается со значениями не во всей окрестности этой точки, а только в точках, удовлетворяющих каким-либо дополнительным условиям. В таких случаях говорят об условном экстремуме, или относительном экстремуме, или экстремуме при наличии связей.
Будем рассматривать вопрос об условном экстремуме функций многих переменных в следующей постановке.
В некоторой окрестности точки x0 E задана функция (x), которую будем исследовать на экстремум, и ещ¨ функций 1(x),
. . . , (x), где < . Пусть – множество точек этой окрестности, в которых справедливы равенства
1(x) = 0, . . . , |
(x) = 0, |
(14.2.1) |
и точка x0 .
Определение. Функция (x) имеет в точке x0 локальный максимум при наличии связей (14.2.1), если для всех точек x множества , из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство (x) 6 (x0).
Условный локальный максимум называют строгим, если для всех точек множества из некоторой проколотой окрестности точки x0, справедливо неравенство (x) < (x0).
Определения условного локального минимума и строгого условного локального минимума аналогичны.
Когда ясно, какие связи имеются в виду, упоминание о связях обычно опускают и говорят просто об условном экстремуме.
184 |
Гл. 14. Экстремумы функций многих переменных |
Точки, в которых достигаются условный локальный максимум или минимум, называют точками условного локального экстремума и, соответственно, точками строгого условного локального экстремума.
Рассматривавшиеся в § 14.1 экстремумы называют безусловными.
Будем предполагать, что и функция (x) и функции 1(x), . . . ,(x) в некоторой окрестности точки x0 имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным 1, . . . , и ранг матрицы
|
∂ 1 |
. . . |
∂ 1 |
|
|
∂ 1 |
∂ |
(14.2.2) |
|||
... |
... |
... |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
. . . |
∂ |
|
∂ 1 |
∂ |
в точке x0 равен . Тогда ранг этой матрицы равен и в некоторой окрестности точки x0.
Для определ¨енности будем считать, что в окрестности точки x0 отличен от нуля минор матрицы (14.2.2), построенный на последних столбцах, т.е. что
∂ 1
∂ − +1
...
∂
∂ − +1
∂ 1
. . . ∂
... ... ̸= 0. (14.2.3)
∂
. . . ∂
Согласно теореме 13.2.1 систему уравнений (14.2.1) в достаточно малой окрестности точки x0 можно разрешить относительно последних переменных, т.е. существуют такие непрерывные функции − +1, . . . , , что
|
− +1 |
= |
− +1 |
( |
, . . . , |
− |
), . . . , |
|
= |
|
( , . . . , |
− |
). |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.2.4) |
||
Соотношения (14.2.1) и (14.2.4) равносильны. При этом функции
|
− +1 |
, . . . , |
в некоторой окрестности точки ( 0 |
, . . . , 0 |
) |
|
|
1 |
− |
|
имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным 1, . . . , − .
§ 14.2. Условный локальный экстремум |
185 |
В формулах (14.2.4) переменные 1, . . . , − являются независимыми.
Существование экстремума функции (x) при наличии связей (14.2.1) равносильно существованию безусловного экстремума функции
( 1, . . . , − ) :=
(
:= 1, . . . , − , − +1( 1, . . . , − ), . . . ,
( 1, . . . , − )). (14.2.5)
Функция ( 1, . . . , − ) имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным. Согласно теореме 14.1.1 для существования локального экстремума функции в точке
( 0 |
, . . . , 0 |
|
) необходимо условие ( 0 |
, . . . , 0 |
) = 0 или |
|||||
1 |
|
− |
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
∂ |
( 10, . . . , 0 − ) = 0, |
= 1, . . . , − , |
(14.2.6) |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
∂ |
||||||||
так как переменные |
1 |
, . . . , |
являются независимыми. |
|||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
Таким образом, получено необходимое условие существования условного локального экстремума.
Однако, условие (14.2.6) не являются эффективным, так как в определении функции участвуют функции − +1, . . . , , полученные при переходе от уравнений связей (14.2.1) к равенствам (14.2.4). Такой переход в явном виде в большинстве случаев является трудноразрешимой задачей.
Поэтому будем искать условия, равносильные (14.2.6), но яв-
ным образом выраженные через функции и 1, . . . , . |
|
|||||||
Условие ( |
, . . . , |
) = 0 в силу инвариантности формы |
||||||
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
первого дифференциала можно записать в виде равенства |
||||||||
|
∑ |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 |
, . . . , 0 ) |
|
= 0, |
(14.2.7) |
||
|
|
∂ |
1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вкотором 1, . . . , − являются дифференциалами независимых переменных, а дифференциалы − +1, . . . , можно выразить через них, используя уравнения связей (14.2.1).
Подставим представления (14.2.4) переменных − +1, . . . ,
в(14.2.1). Получим тождеств:
.1.(. .1.,.......,. . . .−. . .,. . . .−. .+1. . .(. .1.,.......,. . . .−. . ).,.......,. . . . (. . .1.,.......,. . . .−. .).). |
.≡. .0., |
( 1, . . . , − , − +1( 1, . . . , − ), . . . , ( 1, . . . , − )) |
≡ 0, |
186 |
|
Гл. 14. Экстремумы функций многих переменных |
|||||
функции переменных |
1 |
, . . . , |
в которых дифференцируемы. |
||||
Поэтому |
|
− |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
∂ 1 |
(x0) = 0, |
|
. . . , |
|
∂ (x0) = 0. (14.2.8) |
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
=1 |
∂ |
|
|
|
=1 |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, для того чтобы функция (x) имела в точке x0 условный экстремум при наличии связей (14.2.1), необходимо чтобы равенство (14.2.7) было справедливо для всех дифференциалов 1, . . . , , для которых выполняются соотношения (14.2.8).
Это необходимое условие можно выразить в терминах градиентов.
Рассмотрим две системы линейных уравнений относительно1, . . . , . Первую систему составляют уравнения (14.2.8), а вторая получена добавлением к (14.2.8) уравнения (14.2.7).
Полученное выше необходимое условие означает, что каждое решение первой системы должно быть решением второй. Для этого последняя строка матрицы второй системы
∂ 1 (x) . . . ∂ 1 (x)
∂ 1 ∂
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ 1 (x) . . . |
∂ (x) |
|||
|
∂ |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ (x) . . . ∂ (x) ∂ 1 ∂
должна быть линейной комбинацией первых строк этой матрицы, т.е. должны существовать такие числа 1, . . . , , что при всех = 1, . . . ,
∂ (x0) =
∂
или в терминах градиентов
∑ ∂ (x0)
=1
∂
|
|
|
|
∑ |
|
grad (x0) = |
grad (x0). |
(14.2.9) |
=1