Глава 14. Экстремумы функций многих переменных
§ 14.1. Локальные экстремумы
Определение экстремумов функций многих переменных не отличается от соответствующих определений для функций одной переменной.
Определение. Пусть функция (x) = ( 1, . . . , ) задана в окрестности точки x0. Если для всех x из некоторой окрестности точки x0 справедлива оценка (x) 6 (x0), то говорят, что имеет в точке x0 локальный максимум.
А если для всех x из некоторой проколотой окрестности точки x0 справедлива оценка (x) < (x0), то говорят: имеет в точке x0 строгий локальный максимум.
Аналогично вводятся локальный минимум и строгий локальный минимум.
Точки, в которых функция имеет локальный максимум или локальный минимум, называют точками е¨ локального экстремума и точками строгого локального экстремума, если максимум или минимум является строгим.
Слово “локальный” здесь показывает, что число (x0) сравнивается со значениями функции (x) только в некоторой окрестности точки x0, а не во всей области определения .
В этой главе будут получены необходимые, а также достаточные условия существования локального экстремума функции в точке, в которой эта функция дифференцируема или имеет частные производные.
Сначала рассмотрим необходимые условия.
Пусть функция имеет в точке x0 локальный экстремум. Зафиксируем значения всех переменных 1, . . . , , кроме какойлибо одной, например , равными их значениям в точке x0. Тогда полученная функция переменной будет иметь в точке 0 соответствующий локальный экстремум.
178
§ 14.1. Локальные экстремумы |
179 |
Поэтому из теоремы Ферма 6.1.2 для функций одной переменной вытекает следующее утверждение.
Теорема 14.1.1. Если функция (x) имеет в точке локального экстремума x0 частные производные первого порядка по всем переменным, то все эти производные обращаются в точке x0 в нуль.
Следовательно, для функций, дифференцируемых в точке, необходимым условием существования локального экстремума в этой точке является равенство первого дифференциала нулю.
Условие = 0 можно записать так: grad = 0.
Определение. Точки, в которых функция дифференцируема и = 0, называют стационарными точками функции .
Таким образом, точки локальных экстремумов дифференцируемых функций являются их стационарными точками.
Это условие не является достаточным для существования локального экстремума, что видно уже на функциях одной переменной.
Рассмотрим вопрос о локальных экстремумах функций, имеющих частные производные второго порядка.
В дальнейшем, до конца этого параграфа будем считать, что x0 является стационарной точкой функции (x) и в точке x0 непрерывны все частные производные второго порядка функции .
Для сокращения записей введ¨ем обозначение
|
∂2 |
|
|
|
:= |
|
|
(x0), |
, = 1, . . . , . |
|
|
|||
∂ ∂ |
|
|||
Если дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки x0, то согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (12.6.6)
(x) = (x0) + |
1 |
|
|
( − 0)( − 0) + (| x|2), |
||||||
2 |
=1 |
=1 |
||||||||
|
|
∑∑ |
|
|
|
|
|
| x| → 0, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где как обычно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.1.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
( |
|
0)2. |
||||
|
| |
| |
|
=1 |
|
− |
|
|
||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
180 |
Гл. 14. Экстремумы функций многих переменных |
|||||
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
:= |
− 0 |
, |
= 1, . . . , . |
|
|
В силу равенства |
| x| |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
2 = |
( − 0)2 |
= 1 |
(14.1.2) |
|
|
∑ |
|||||
|
∑ |
| | |
|
|
||
|
|
|
x 2 |
|
||
|
=1 |
=1 |
|
|||
|
|
|
|
|||
числа представляют собой направляющие косинусы единичного вектора, задающего луч с вершиной в точке x0, на котором лежит точка x. Обозначим этот вектор .
Из (14.1.1) получаем
(x) − (x0) = 2 |
| x|2 |
|
|
(14.1.3) |
{ =1 =1 + ( x)}, |
||||
1 |
|
∑∑ |
|
|
где |
lim |
( x) = 0. |
(14.1.4) |
|
|
||||
|
| |
x|→0 |
|
|
Введ¨ем обозначение квадратичной формы из правой части
(14.1.3):
∑∑
( ) := .
=1 =1
Для заданной функции значения квадратичной формы ( ) зависят только от направляющих косинусов единичного вектора луча, о котором говорилось выше, и значит, во всех точках x этого луча функция ( ) принимает одно и то же значение.
Чтобы выяснить, имеет ли функция (x) локальный экстремум в точке x0, нужно рассмотреть знак разности (x) − (x0) в достаточно малой окрестности точки x0. Согласно (14.1.3) знак этой разности тот же, что и знак выражения
( |
|
) + ( x). |
(14.1.5) |
Поскольку для ( x) выполняется равенство (14.1.4), не может иметь в точке x0 локальный максимум, если функция ( ) для некоторого вектора принимает положительное значение. А если ( ) может принимать отрицательные значения, у в точке x0 нет локального минимума.
Таким образом, имеет место следующее утверждение.
§ 14.1. Локальные экстремумы |
181 |
Теорема 14.1.2. Если функция (x) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности своей стационарной точки x0 , то
1 ) чтобы имела в точке x0 локальный максимум, необходимо условие ( ) 6 0;
2 ) чтобы имела в точке x0 локальный минимум, необходимо условие ( ) > 0;
3 ) если квадратичная форма ( ) принимает и положительные и отрицательные значения, функция в точке x0 локального экстремума не имеет.
Получим теперь достаточные условия существования локального экстремума.
Пусть квадратичная форма ( ) положительно определена, т.е. принимает положительные значения для любого ненулевого вектора .
Сфера, заданная в R формулой (14.1.2), является замкнутым ограниченным множеством. Так как функция ( ) непрерывна, она принимает в некоторой точке сферы сво¨е минимальное на ней значение.
Значит, существует положительное число такое, что для всех 1, . . . , , удовлетворяющих условию (14.1.2), справедлива оценка
( ) > .
В силу (14.1.4) для достаточно малых | x|
| ( x)| < 2 .
Поэтому при таких x знак выражения (14.1.5) определяется знаком ( ), т.е. это выражение принимает только положительные значения.
Таким образом, согласно (14.1.3) в достаточно малой проколотой окрестности точки x0 выполняется неравенство
(x) − (x0) > 0
и, следовательно, функция (x) имеет в точке x0 строгий локальный минимум. Напомним, что x0 предполагается стационарной точкой.
182 |
Гл. 14. Экстремумы функций многих переменных |
Точно также устанавливается, что (x) имеет в точке x0 строгий локальный максимум, если квадратичная форма ( ) отрицательно определена, т.е. принимает отрицательные значения для всех ненулевых векторов .
Запишем полученные результаты в виде следующего утверждения.
Теорема 14.1.3. Пусть функция (x) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности своей стационарной точки x0 . Тогда
1 ) если квадратичная форма ( ) положительно определена, функция (x) имеет в точке x0 строгий локальный минимум;
2 ) если квадратичная форма ( ) отрицательно определена, функция (x) имеет в точке x0 строгий локальный максимум.
Если же квадратичная форма ( ) принимает и положительные и отрицательные значения, то не имеет в точке x0 локального экстремума.
Обсудим теперь случай, когда квадратичная форма ( ) является полуположительно определ¨енной (нестрого положительно определ¨енной), т.е. ( ) > 0 для всех векторов и существует ненулевой вектор 0, для которого ( 0) = 0.
Тогда согласно (14.1.3) для точек x, лежащих на луче с вершиной в x0 и направляющим вектором 0, имеем
(x) − (x0) = 12| x|2 ( x).
Так как о знаке величины ( x) ничего не известно, нельзя сделать вывод ни о наличии, ни об отсутствии локального экстремума функции в точке x0. Достаточно рассмотреть в качестве примера функции 4 + 4 и 4 − 4 в точке (0, 0).
Случай, когда квадратичная форма ( ) является полузнакоопредел¨енной, можно исследовать, используя частные производные более высокого порядка (если она существуют), наподобие того, как это делалось для функций одной переменной в § 6.6. Но не будем на этом останавливаться.
Заметим, что в доказательстве теоремы 14.1.3 непрерывность частных производных функции сама по себе не использовалась. Нужно было только представление (14.1.1) приращения функции