Вгл. 20 вопрос о площадях будет рассматриваться специально

ибудет видно, что это определение площади множества согласуется с общим определением площади. А сейчас сформулируем вывод: определ¨енный интеграл от неотрицательной интегрируемой функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции.

§ 9.3. Линейные свойства определённого интеграла

Теорема 9.3.1 (Аддитивность интеграла относительно промежутка интегрирования). Пусть функция ( ) задана на отрезке [ , ] и < < . Если функция интегрируема на отрезках [ , ] и [ , ], то она интегрируема на [ , ]. Если функция интегрируема на [ , ], то она интегрируема и на отрезках [ , ] и [ , ] и справедливо равенство

Доказательство. Если – разбиение отрезка [ , ], содержащее точку , то точки , принадлежащие отрезку [ , ], образуют разбиение этого отрезка, которое обозначим ′. Аналогичное разбиение отрезка [ , ] обозначим ′′.

Имеем

Если интегрируема на [ , ], то согласно теореме 9.2.5 существует разбиение , при котором как угодно мала разность в левой части (9.3.2). Значит, малы и обе разности верхних и нижних сумм Дарбу из правой части (9.3.2), так как такие разности всегда неотрицательны. Поэтому интегрируема на отрезках [ , ] и [ , ]. Наоборот, если малы разности в правой части (9.3.2), то мала и разность в левой части. Значит, из интегрируемости функции на [ , ] и [ , ] следует е¨ интегрируемость на [ , ].

Докажем равенство (9.3.1).

Задав положительное , найд¨ем > 0 такое, что для каждого разбиения отрезка [ , ] с < при любом выборе точек

Возьм¨ем интегральные суммы Римана ′( , ′) и ′′( , ′′) функции на отрезках [ , ] и [ , ] соответственно такие, что

′ < и ′′ < и

Тогда ′( , ′)+ ′′( , ′′) является интегральной суммой Римана функции на отрезке [ , ], соответствующей разбиению, диаметр которого меньше . Значит, для этой интегральной суммы справедлива оценка (9.3.3). Таким образом,

Отсюда вытекает (9.3.1), так как левая часть в полученном неравенстве не зависит от .

Теорема доказана.

Из теоремы 9.3.1 следует, что функция, интегрируемая на отрезке, интегрируема и на любом содержащемся в н¨ем отрезке.

В определении интеграла ∫ нижний предел интегрирования был меньше верхнего предела . Но нередко нужны и интегралы, у которых нижний предел интегрирования больше верхнего. По определению полагают при >

∫ ∫

( ) := − ( )

и

∫

( ) := 0.

Эти определения позволяют распространить равенство (9.3.1) на любое расположение точек , , при условии, что функция интегрируема на наибольшем отрезке с концами в этих точках.

Теорема 9.3.2 (Линейность интеграла). Если функции ( )

и ( ) интегрируемы на отрезке [ , ], то для любых чисел и

36 Гл. 9. Определ¨енный интеграл

функция ( ) + ( ) интегрируема на [ , ] и имеет место равенство

∫ ∫ ∫

( ( ) + ( )) = ( ) + ( ) . (9.3.4)

Доказательство. Для каждого разбиения отрезка [ , ] при любом выборе точек справедливо равенство интегральных сумм Римана

∑

( + , ) = [ ( ) + ( )] = ( , ) + ( , ).

=1

Пользуясь интегрируемостью функций и , по заданному> 0 выбираем > 0 такое, что для каждого разбиения , диаметр которого < , и любых точек сумма ( , ) отличается от интеграла ∫ меньше, чем на , и ( , ) отличается от

∫

меньше, чем на . Тогда сумма ( + , ) отличается от числа

∫ ∫

( ) + ( )

меньше, чем на (| | + | |) . Отсюда вытекают интегрируемость функции + и равенство (9.3.4).

Теорема доказана.

Эта теорема показывает, что функции, интегрируемые на отрезке, образуют линейное пространство.

Возможность вынесения числового множителя из-под знака определ¨енного интеграла называют однородностью интеграла.

Понятно, что равенство интегралов (9.3.4) выполняется и при

> .

Отметим, что в доказательстве теоремы 9.3.2 суммы Дарбу не использовались, оно опиралось только на определение интеграла. Следовательно, эта теорема справедлива и для комплекснозначных функций. Поэтому, если ( ) = ( ) + ( ) – разложение функции на действительную и мнимую составляющие, то

∫ ∫ ∫

( ) = ( ) + ( ) .

Эту формулу можно было бы использовать как определение интеграла от комплекснозначных функций.

Докажем теорему об интегрировании неравенств.