§ 11.3. Пределы функций многих переменных |
119 |
Получено противоречие, поскольку кубики выбирались так, что содержащиеся в них порции компакта нельзя покрыть конечным набором множеств семейства { }.
Теорема доказана.
Теорему 11.2.6 кратко формулируют так: из каждого покрытия компакта открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие и называют е¨ теоремой о конечном покрытии.
§ 11.3. Пределы функций многих переменных
Будем рассматривать функции, заданные на множествах - мерного евклидова пространства E и принимающие числовые значения, т.е. функции вида
(x): → R,
где E . Для обозначения функций, а также их значений будем использовать как равноправные записи (x) и ( 1, . . . , ) и называть такие функции функциями переменных 1, . . . , .
Определим предел функции по множеству. Это определение является новым и для функций одной переменной.
Определение. Пусть x0 – предельная точка множества
E . Число называют пределом функции (x) в точке x0 по множеству , если:
1 ) функция определена во всех точках множества , принадлежащих некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0;
2 ) для каждого положительного числа существует число( ) > 0 такое, что для точек x , удовлетворяющих условию 0 < (x, x0) < , справедлива оценка
| (x) − | < .
В этом случае пишут
= |
lim (x). |
x→x0, x
Условие 1 можно переформулировать так: функция определена во всех точках множества , принадлежащих некоторой проколотой окрестности точки x0. Как и ранее, проколотая окрестность – это окрестность точки без самой этой точки.
120 Гл. 11. Функции многих переменных
В 2 участвуют точки x из проколотой -окрестности точки x0.
Если существует проколотая окрестность точки x0, целиком принадлежащая множеству , слова “по множеству ” в определении предела опускают.
Заметим, что односторонние пределы функций одной переменной фактически являются пределами по множеству.
Приведенное определение было определением предела по Коши. В определении предела по Гейне условие 20 формулируется так:
2 ′) для любой последовательности точек {x( )}, принадлежащих , сходящейся к точке x0, имеет место равенство
lim (x( )) = .
→∞
Эквивалентность этих определений устанавливается точно так же, как для функций одной переменной. Нужно только говорить о точках множества , поскольку рассматривается предел по множеству.
Теорема 11.3.1 (Критерий Коши существования предела функции). Пусть x0 – предельная точка множества E и функция (x) определена в точках множества из некоторой проколотой окрестности точки x0 . Для того чтобы функцияимела в точке x0 предел по множеству , необходимо и достаточно условие Коши, состоящее в том, что для каждого положительного существует число ( ) > 0 такое, что для любых точек x′ и x′′ из проколотой -окрестности точки x0 , принадлежащих множеству , справедливо неравенство
| (x′) − (x′′)| < .
Доказательство теоремы 11.3.1 не отличается от доказательства критерия Коши для функций одной переменной, приведенного в S 3.4. Нужно только говорить о точках, принадлежащих множеству .
Наряду с конечными пределами функций рассматриваются бесконечные пределы. Для предела, равного +∞, условие 2 в определении предела по Коши имеет вид:
2 ) для каждого числа существует число ( ) > 0 такое, что для всех точек x , для которых 0 < (x, x0) < , выполняется условие (x) > .
§ 11.3. Пределы функций многих переменных |
121 |
Если здесь оценку (x) > заменить на (x) < , получим определение предела, равного −∞, а если заменить эту оценку на | (x)| > , получим определение предела, равного ∞.
Вводится также предел функции при x → ∞ по множеству .
Определение. Пусть для каждого числа существует бесконечно много точек множества E , для которых (x, 0) > . Число называют пределом функции (x) при x → ∞ по множеству , если
1 ) существует такое число , что функция определена во всех точках множества , для которых (x, 0) > ;
2 ) для каждого > 0 существует число ( ) такое, что для всех x , для которых (x, 0) > , справедлива оценка
| (x) − | < .
В этом случае пишут
lim (x) = .
x→∞, x
Соответствующим образом даются определения бесконечных пределов функции по неограниченному множеству при x → ∞.
По сути все приведенные определения предела одинаковы. Поразному понимаются окрестности точек. Когда говорят о пределе при x → ∞, считают, что окрестностями символа ∞ являются точки x, удовлетворяющие условию вида (x, 0) > .
Чтобы не говорить о каждом из этих случаев по отдельности, а охватить их все сразу, вводят предел по базе.
Определение. Бесконечный набор непустых подмножествмножества
:= { }
называют базой в , если для каждой пары множеств и этого набора в имеется множество такое, что
( )
. (11.3.1)
Например, если x0 – предельная точка множества , то базу в образует совокупность подмножеств множества , содержащихся в проколотых -окрестностях точки x0, где – положительные числа. В этом случае для любых и существует элемент базы, для которого в (11.3.1) имеет место равенство.
122 |
Гл. 11. Функции многих переменных |
Другую базу в образует совокупность подмножеств множества , содержащихся в произвольных открытых шарах, которым принадлежит точка x0, из которых сама точка x0 исключена, т.е. это проколотые шары. Но теперь пересечение не каждой пары элементов базы ей принадлежит.
Определение. Пусть функция (x) задана на множестве E и – база в . Число называют пределом функции (x) по базе , если для каждого > 0 существует элемент базы такой, что для всех x справедлива оценка | (x) − | < .
Таким образом, предел функции по множеству в точке x0, являющейся предельной точкой , соответствует случаю, когда в качестве базы взяты подмножества множества , содержащиеся в проколотых -окрестностях точки x0.
Для предела функции при x → ∞ по неограниченному множеству в качестве базы берутся подмножества , содержащиеся вне замкнутых шаров произвольного положительного радиуса.
Перечислим свойства пределов функций многих переменных по множеству, аналогичные свойствам обычных пределов функций одной переменной.
Если функция имеет конечный предел при x → x0 по множеству , то ограничена в точках некоторой проколотой окрестности точки x0, принадлежащих множеству .
Если
lim (x) = ̸= 0,
x→x0, x
то во всех точках некоторой проколотой окрестности точки x0, принадлежащих , выполняется неравенство | (x)| > | |/2.
Арифметические свойства пределов, т.е. пределы суммы, разности, произведения и частного (а также предел модуля) функций, имеющих пределы, справедливы и для пределов функций многих переменных по множеству.
И в формулировках и в доказательствах этих свойств нет ничего нового по сравнению с одномерным случаем.
Перейд¨ем теперь к вопросам, характерным именно для функций многих переменных.
Пусть (для простоты) функция (x) определена во всех точках некоторой проколотой окрестности точки x0.
Рассмотрим луч с вершиной в точке x0, параллельный ненулевому -мерному вектору ( 1, . . . , ), т.е. множество точек x,
§ 11.3. Пределы функций многих переменных |
123 |
для координат которых выполняются равенства
1 = 01 + 1 ,
. . . . . . . . . . . . . . .
= 0 + ,
при > 0.
Предел функции в точке x0 по этому лучу называют пределом по направлению, определяемому вектором ( 1, . . . , ). Предел по направлению является пределом функции ( 01 + 1 , . . . ,0 + ) одной переменной при → +0.
Понятно, что если функция имеет предел в точке, то она имеет в этой точке равные ему пределы по всем направлениям.
Если не предполагать, что функция имеет предел в точке, и рассматривать только пределы в этой точке по направлениям, то могут быть разные случаи.
Предел по одним направлениям может существовать, а по другим – нет. Могут существовать пределы по всем направлениям, но значения пределов по разным направлениям различны. Соответствующие примеры строятся легко, так как на каждом луче значения функции можно выбирать произвольно.
Менее очевиден пример, когда пределы по всем направлениям существуют и их значения равны, а предела нет.
Пусть функция двух переменных ( , ) определена всюду и равна 1, если = 2, а в остальных точках равна нулю. Тогда предел в точке (0, 0) по любому направлению равен 0. А так как в каждой окрестности начала координат есть точки, в которых функция равна 1, и точки, где она равна нулю, то предел в точке (0, 0) не существует.
Для функций многих переменных вводится ещ¨ одно важное понятие предела – повторные пределы. Чтобы не затемнять дело несущественными деталями, будем рассматривать этот вопрос для функций двух переменных, заданных в проколотой окрестности некоторой точки.
Определение. Пусть функция ( , ) определена в проколотой окрестности точки ( 0, 0). Повторными пределами функции( , ) в точке ( 0, 0) называют пределы
lim ( lim ( , )) |
(11.3.2) |
→ 0 → 0
124 |
Гл. 11. Функции многих переменных |
и |
( → 0 ( , )). |
→ 0 |
|
lim |
lim |
Здесь участвуют только пределы функций одной переменной. Заметим, что в (11.3.2) предел при → 0 рассматривается только для ̸= 0.
Понятно, что повторные пределы не всегда существуют. Покажем на примерах, что существование повторных преде-
лов не связано, вообще говоря, с существованием обычного предела.
Пусть функция ( , ) задана во всех точках плоскости, кроме начала координат, формулой
2( , ) := 2 + 2 .
Тогда предел
lim ( , )
( , )→(0,0)
не существует, так как равна нулю, если = 0, ̸= 0, или= 0, ̸= 0, а при = значения равны 1. Вместе с тем, легко убедиться, что оба повторных предела в точке (0, 0) существуют и их значения равны (они равны нулю, так как равны нулю внутренние пределы).
Рассмотрим теперь функцию
|
{0, |
если = 0. |
( , ) := |
sin(1/ ), |
если ̸= 0, |
Так как | ( , )| 6 | | во всех точках ( , ), то
lim ( , ) = 0.
( , )→(0,0)
Повторный предел
( )
lim lim ( , )
→0 →0
существует и равен нулю, а предел
( )
lim lim ( , )
→0 →0
не существует, так как не существует внутренний предел.
§ 11.3. Пределы функций многих переменных |
125 |
|||||
Пример, когда внутренний предел существует, а внешний – |
||||||
нет, да¨ет функция |
|
|
|
|
|
|
{0, |
|
если = 0. |
|
|||
( , ) := |
sin(1/ ), |
если ̸= 0, |
|
|||
В самом деле, для ̸= 0 |
|
|
|
|
|
|
lim ( , ) = sin |
1 |
, |
|
|||
|
|
|||||
→0 |
|
|
|
|
|
|
поэтому предел |
|
→0 |
) |
|
||
→0( |
|
|||||
lim |
|
lim ( , ) |
|
|||
не существует.
Самое поучительное свойство повторных пределов иллюстри-
рует функция |
|
|
|
|
( , ) := |
2 |
( , ) ̸= (0, 0). |
||
|
, |
|||
2 + 2 |
||||
Нетрудно убедиться, что |
) |
|||
→0( |
→0 |
|||
lim |
lim ( , ) = 0 |
|||
и |
|
|
) |
|
→0( →0 |
||||
lim |
lim ( , ) |
= 1. |
||
Приведенные примеры показывают следующее важное свойство повторных пределов.
Если в каком-либо выражении поочередно перейти к пределу по двум параметрам (двум переменным), то и существование пределов и их значения могут зависеть от того, в каком порядке берутся пределы.
Покажем, что при некоторых условиях из существования предела функции следует существование повторных пределов.
Теорема 11.3.2. Пусть существует предел
lim |
( , ). |
(11.3.3) |
( , )→( 0, 0)
126 Гл. 11. Функции многих переменных
Если для каждого из некоторой проколотой окрестности точки 0 существует предел
lim ( , ), |
(11.3.4) |
|
|
|
→ 0 |
→ 0 |
|
) |
|
(11.3.5) |
|
|
|
lim |
lim |
( , ) |
|
|
|
и справедливо равенство |
|
|
|
|
|
|||
→ 0 |
( |
→ 0 |
) |
( , )→( 0 |
, 0) |
( , ). |
(11.3.6) |
|
lim |
|
lim |
( , ) |
= |
lim |
|
|
|
Доказательство. Обозначим предел (11.3.3) через . Так как этот предел существует, то для > 0 имеется > 0 такое, что для каждой точки ( , ) из проколотой -окрестности точки ( 0, 0) выполняется неравенство
|
|
| − ( , )| < |
|
|
|
|
|
(11.3.7) |
||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
Будем считать настолько малым, что предел (11.3.4) суще- |
||||||||||||||
ствует при всех |
|
, для которых |
0 < |
0 |
| |
< |
. При каждом |
таком |
||||||
|
| − |
|
|
|
|
|
|
0 |
: |
|||||
в неравенстве (11.3.7) можно перейти к пределу при → |
|
|||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
< |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
| − → 0 ( , )| 6 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как эта оценка имеет место для всех |
из проколотой - |
|||||||||||||
окрестности точки 0, то из не¨ следует и существование предела (11.3.5) и равенство (11.3.6).
Теорема доказана.
Для функций переменных можно определить ! повторных пределов, когда в различном порядке переходят к пределу по каждой из переменных поочередно.
При > 2 можно также разделить все переменные, скажем, на две группы и переходить к пределу сначала по переменным одной из этих групп, а затем – по переменным другой группы.