§ 11.4. Непрерывные функции многих переменных

§ 11.4. Непрерывные функции многих переменных

Определение. Пусть точка x0 E . Говорят, что функция (x) непрерывна в точке x0 по множеству , если определена во всех точках множества из некоторой окрестности точки x0 и для каждого > 0 существует ( ) > 0 такое, что для всех x из -окрестности точки x0, справедливо неравенство

| (x) − (x0)| < .

Это – определение “на языке − ”. На “языке последовательностей” при тех же предположениях об области определения функции соответствующее условие формулируется так: для любой сходящейся к точке x0 последовательности точек {x( )}, принадлежащих множеству , имеет место равенство

lim (x( )) = (x0).

→∞

Если x0 – изолированная точка множества , т.е. в некоторой окрестности x0 нет других точек из , то каждая функция, которая определена в точке x0, непрерывна в этой точке по множеству .

Если точка x0 не является изолированной точкой множества , то она – предельная точка . В этом случае непрерывность функции в точке x0 можно определить с помощью предела: функция непрерывна в точке x0 по множеству , если

lim (x) = (x0).

x→x0, x

В предельных точках множества многие свойства функций, непрерывных по , вытекают из свойств пределов.

Например, если функция непрерывна в точке x0 по множеству, то в точках множества , принадлежащих достаточно малой окрестности точки x0 она ограничена. Если функция непрерывна в точке x0 по множеству и (x0) ̸= 0, то сохраняет знак в точках из некоторой окрестности точки x0. На этот случай переносятся также теоремы о непрерывности функций, полученных в результате арифметических действий над непрерывными функциями, и теорема о непрерывности модуля непрерывной функции.

Остановимся подробнее на вопросе о непрерывности сложной функции многих переменных, хотя и здесь нет ничего по существу нового по сравнению с функциями одной переменной.

Пусть функция (x) определена на множестве E и имеется ещ¨ некоторое множество E , в точках t которого заданыфункций

1(t), . . . , (t),

таких, что точки ( 1(t), . . . , (t)) принадлежат множеству . Тогда на множестве можно определить функцию

или в координатных обозначениях

( 1, . . . , ) = ( 1( 1, . . . , ), . . . , ( 1, . . . , )),

которую называют сложной функцией.

Теорема 11.4.1. Пусть функции 1(t), . . . , (t) непрерывны в точке t0 E по множеству и для всех t из некоторой окрестности точки t0 точки ( 1(t), . . . , (t)) принадлежат множеству E . Если функция (x) = ( 1, . . . , ) непрерывна в точке x0 := ( 1(t0), . . . , (t0)) по множеству , то сложная функция (11.4.1) непрерывна в точке t0 по множеству .

Доказательство. Задав > 0, выбираем > 0 так, что для всех точек x из -мерной -окрестности точки x0, выполняется неравенство

| (x) − (x0)| < .

Так как функции 1(t), . . . , (t) непрерывны в точке t0 по множеству , то по этому можно выбрать > 0 такое, что для всех t , принадлежащих -мерной -окрестности точки t0, справедливы неравенства

Такое существует, так как функций конечное число.

Можно считать настолько малым, что точки ( 1(t), . . . , (t)) принадлежат множеству . А так как их расстояния от точки ( 1(t0), . . . , (t0)) меньше , то

| (t) − (t0)| = | ( 1(t), . . . , (t)) − ( 1(t0), . . . , (t0))| < .

Теорема доказана.

Определение. Функция (x) называется непрерывной на множестве E , если она непрерывна по множеству в каждой точке x .

Для обозначения непрерывности функции на будем писать ( ). Ранее такое обозначение использовалось для функций одной переменной, непрерывных на промежутке.

Отметим, что каждая непрерывная функция переменных1, . . . , при > является непрерывной и как функция переменных 1, . . . , . Поэтому элементарные функции одной переменной дают примеры непрерывных функций многих переменных. А если рассматривать ещ¨ сложные функции переменных, то получим довольно значительный запас непрерывных функций многих переменных.

Привед¨ем для непрерывных функций многих переменных теоремы, аналогичные теоремам из главы 4 для функций одной переменной.

Теорема 11.4.2. Если множество E компактно и функция (x) непрерывна на , то ограничена на .

Доказательство. Предположим противное – что функция( ) не является ограниченной на компакте , т.е. не существует такого числа , что | (x)| 6 для всех x .

Тогда для каждого натурального числа существует точка x( ) такая, что | (x( ))| > . Значит,

Так как точки последовательности {x( )} принадлежат ограниченному множеству , то согласно теореме Больцано–Вейер- штрасса 11.1.3 существует подпоследовательность {x( )} последовательности {x( )}, сходящаяся к некоторой точке x*. В силу замкнутости множества точка x* принадлежит . Из непрерывности функции на заключаем, что

lim (x( )) = (x*).

→∞

Значит, последовательность { (x( ))} ограничена, что противоречит (11.4.2).

Теорема доказана.

Теорема 11.4.3 (Теорема Вейерштрасса). Если функция (x)

непрерывна на компактном множестве E , то в некоторых точках множества достигает точной верхней и точной нижней граней своих значений на .

Доказательство. Докажем достижимость точной верхней грани значений на .

Из теоремы 11.4.2 следует, что эта точная верхняя грань существует. Пусть = supx (x). Для каждого натурального

В силу компактности множества последовательность точек {x( )} содержит подпоследовательность {x( )}, сходящуюся к некоторой точке x* . Поскольку функция непрерывна

в точке x*, то

lim (x( )) = (x*).

→∞

Отсюда и из (11.4.3) получим (x*) = и для точной верхней грани теорема доказана.

Для точной нижней грани доказательство аналогично.

Определение. Функция (x) называется равномерно непрерывной на множестве E , если для каждого > 0 существует ( ) > 0 такое, что для любой пары точек x′, x′′ , для которых (x′, x′′) < , выполняется неравенство

| (x′) − (x′′)| < .

Теорема 11.4.4 (Теорема Кантора). Если функция (x) непрерывна на компакте E , то она равномерно непрерывна на .

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, т.е. существует непрерывная, но не равномерно непрерывная на функция .

Тогда найд¨ется положительное число 0 такое, что для каждого > 0 существует пара точек x, y из , для которых (x, y) < , но

| (x) − (y)| > 0.

Выбирая в качестве числа 1/ , N, получим две последовательности принадлежащих точек {x( )} и {y( )}, таких,

что

(x( ), y( )) < 1 ,

но в то же время

Так как – компакт, существует подпоследовательность

{x( )} последовательности {x( )}, сходящаяся к некоторой точке x* .

Из неравенства

(y( ), x*) 6 (y( ), x( )) + (x( ), x*) < 1 + (x( ), x*)

следует, что последовательность {y( )} также сходится к x*.

В силу непрерывности функции в точке x* по множеству имеем

Эти соотношения противоречат неравенству (11.4.4). Теорема доказана.

Для функций переменных, заданных на множестве E , вводится модуль непрерывности

( , ) := sup | (x′) − (x′′)|,

где верхняя грань берется по всем точкам x′ и x′′, принадлежащим , расстояние между которыми не превышает . Так же,

как для функций, заданных на отрезке, доказывается, что равномерная непрерывность функции на множестве равносильна условию ( , +0) = 0.

Доказательства теорем 11.4.2–11.4.4 фактически повторяли доказательства соответствующих утверждений из главы 4 для функций одной переменной, непрерывных на отрезке. Тем не менее, теоремы 11.4.2–11.4.4 дают новые результаты и для функций одной переменной, так как они относятся к функциям, непрерывным на произвольном компакте, а не только на отрезке.

Следующая теорема для функций одной переменной не да¨ет ничего нового.

Теорема 11.4.5 (Теорема Коши о промежуточных значениях). Пусть функция (x) непрерывна на связном множествеE . Тогда для произвольных точек x′ и x′′, принадлежащих , и каждого значения, промежуточного между числами (x′) и (x′′), существует точка множества , в которой функция принимает это значение.

Доказательство. Так как – связное множество, то точки x′ и x′′ можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в . Пусть такая кривая задана уравнениями

где переменная пробегает некоторый отрезок [ , ], прич¨ем при= получаем точку x′, а при = – точку x′′.

Функция переменной

( ) := ( 1( ), . . . , ( ))

в силу теоремы 11.4.1 о непрерывности сложной функции непрерывна на отрезке [ , ] и в концевых его точках принимает значения (x′) и (x′′). Значит, согласно теореме Коши 4.3.3 о промежуточных значениях для функций одной переменной функция( ) каждое значение между (x′) и (x′′) принимает при некотором из отрезка [ , ]. Этому соответствует точка на кривой (11.4.5), которая принадлежит множеству .

Теорема доказана.