Теорема доказана.

Из того, что касательная плоскость имеет уравнение (12.2.2), вытекает геометрический смысл дифференциала функций многих переменных: дифференциал равен приращению функции, графиком которой является касательная плоскость.

В теореме 12.2.1 существенно, что касательная плоскость не параллельна оси .

В самом деле, рассмотрим в пространстве точек ( , , ) по-

√

верхность, являющуюся графиком функции = 3 . Эта функ-

ция не дифференцируема в точке (0, 0).

т.е. плоскость является касательной.

§ 12.3. Дифференцируемость сложной функции

Установим дифференцируемость сложной функции многих переменных, построенной из дифференцируемых функций.

Теорема 12.3.1. Пусть функции

1(t) = 1( 1, . . . , ), . . . , (t) = ( 1, . . . , ), > 1,

(t) = ( 1, . . . , ) := ( 1( 1, . . . , ), . . . , ( 1, . . . , ))

148 Гл. 12. Дифференциальное исчисление

дифференцируема в точке t0 и для е¨ частных производных справедливы равенства

Доказательство. Из дифференцируемости функций 1(t),

. . . , (t) в точке t0 и функции (x) в точке x0 следует непрерывность этих функций в указанных точках. Поэтому согласно теореме 11.4.1 функция (t) непрерывна в точке t0.

В силу дифференцируемости функции (x) в точке x0 существует такое число > 0, что для всех точек x0+ x, для которых | x| < , справедлива оценка

= (x0 + x) − (x0) = ∑ ∂ (x0) + ( x)| x|, ∂

=1

(12.3.2)

где ( x) → 0 при | x| → 0.

Выберем настолько малое > 0, чтобы условие | t| < обеспечивало попадание точек ( 1(t0 + t), . . . , (t0 + t)) в -ок- рестность точки x0. Для таких t при каждом = 1, . . . , имеем

= (t0 + t) − (t0) = ∑ ∂ (t0) + ( t)| t|,

=1 ∂

где ( t) → 0 при | t| → 0.

Подставив эти выражения в (12.3.2), получим

= (t0 + t) − (t0) = (x0 + x) − (x0) =

+ ∑ ∂ (x0) ( t)| t| + ( x)| x|. (12.3.3)

=1

∂

Так как все ( t) → 0, = 1, . . . , , при | t| → 0, то

∑ ∂ (x0) ( t)| t| = (| t|), | t| → 0. (12.3.4)

=1

∂

достаточно доказать ограниченность отношения | x|/| t| при малых | t|. Имеем

(12.3.6)

Таким образом, функция (t) дифференцируема. Так как согласно теореме 12.1.1 множители перед приращениями аргументов в представлении дифференциала функции равны соответствующим частным производным этой функции, то из (12.3.6) следуют равенства (12.3.1).

Теорема доказана.

Привед¨ем частный случай теоремы 12.3.1, когда = 1.

Следствие 12.3.2. Пусть функции 1 = 1( ), . . . , =

( ) имеют производные в точке 0 [ , ], а функция (x) =

x0 = ( 1( 0), . . . , ( 0)). Тогда сложная функция ( ) := ( 1( ),

. . . , ( )) имеет в точке 0 производную и

Если выполнены условия теоремы 12.3.1, то функция (t) дифференцируема в точке t0 и дифференциал выражается через дифференциалы независимых переменных по формуле

∑

=1

Это выражение имеет тот же вид, что и формула (12.3.8), но в (12.3.9) являются дифференциалами зависимых переменных.

Тот факт, что формулы (12.3.8) и (12.3.9), имеют одинаковый вид и при выражении через дифференциалы независимых переменных и через дифференциалы зависимых переменных, как и для дифференциалов функций одной переменой, называют инвариантностью формы первого дифференциала.

В § 12.5 для функций многих переменных будут определены дифференциалы старших порядков, которые как и дифференциалы старших порядков функций одной переменной, свойством инвариантности не обладают.

С помощью равенств (12.3.1) легко выразить дифференциалы суммы, разности, произведения и частного функций через дифференциалы функций, над которыми производятся эти действия. Эти формулы аналогичны соответствующим формулам для функций одной переменной из § 5.2.