§ 9.11. Задачи и упражнения |
|
|
|
|
79 |
|
В этом случае пишут |
|
|
] |
|
|
|
− |
|
|
|
v.p. |
|
|
→+0[ ∫ |
∫ − |
|
|
∫ |
||
lim |
( ) + |
( ) := |
|
( ) . |
||
Здесь v.p. – сокращение от французского valeur principal. |
||||||
Например, интеграл |
1 |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
||
|
∫−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
как несобственный расходится, а как интеграл в смысле главного значения он сходится и равен нулю.
Интеграл в смысле главного значения вводят и для случая, когда интегрирование вед¨ется по всей оси (−∞, +∞): по определению полагают
v.p. |
+∞ |
→+∞ |
|
∫−∞ |
∫− |
||
|
( ) := |
lim |
( ) , |
если этот предел существует.
Наконец, функция ( ) может иметь на промежутке [ , ] конечное число особенностей, которые могут быть в концевых точках и и в некоторых внутренних точках из ( , ).
Тогда ( , ) разбивают на конечное число таких промежутков, что функция ( ) имеет на каждом из них единственную особенность в каком-либо из концов промежутка. Если сходятся несобственные интегралы по каждому из этих промежутков, то говорят, что сходится несобственный интеграл по промежутку [ , ]. В противном случае интеграл по промежутку [ , ] называют расходящимся. Если несобственный интеграл
∫
( )
сходится, то в качестве его значения берут сумму всех интегралов по построенным промежуткам.
§9.11. Задачи и упражнения
9.11.1.Докажите, что если функция ( ) непрерывна на [−1, 1]
идля каждой непрерывной на [−1, 1] ч¨етной функции ( )
∫ 1
( ) ( ) = 0,
−1
то функция ( ) неч¨етна.
80 |
|
Гл. 9. Определ¨енный интеграл |
9.11.2. Докажите, что функция Римана |
||
|
0, |
если иррационально, |
|
|
|
( ) := 1/ , |
если = / рационально |
|
и дробь / несократима,
интегрируема на [0, 1].
9.11.3.Докажите, что если на отрезке функции ( ) и ( ) интегрируемы, то интегрируемы также функции max( ( ), ( ))
иmin( ( ), ( )).
9.11.4.Докажите, что если функция ( ) интегрируема, то
∫0 |
( ∫0 |
( ) ) = ∫0 |
( )( − ) . |
9.11.5. Докажите, что если функция ( ) непрерывна на отрезке [0, 1], то
lim ∫ 1 ( ) = (0).
→+0 2
9.11.6. Докажите, что если функция ( ) непрерывна на отрезке [−1, 1], то
→+0 |
1 |
2 + 2 ( ) = (0). |
∫−1 |
||
lim |
|
|
|
|
9.11.7.Докажите, что если на [ , ] функция ( ) непрерывна
инеотрицательна, то
[ , ] |
|
|
) |
1/ |
→∞( ∫ |
( ) |
|
||
max ( ) = |
lim |
|
. |
9.11.8. Докажите, что если функция ( ) интегрируема и
∫
( ) = ( ) ,
0
то ( ) ≡ 0.
§ 9.11. Задачи и упражнения |
|
|
81 |
9.11.9. Докажите, что для функции |
|
||
( ) := ∫ +1 sin( 2) , |
> 0, |
||
справедлива оценка |
1 |
|
|
| ( )| 6 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
||
9.11.10.Покажите, что для функций ( ), принимающих на [ , ] значения разных знаков, теорема 9.7.1, вообще говоря, не верна.
9.11.11.При каких значениях параметра сходится интеграл
|
+∞ |
|
|
|
+∞ sin |
|
|||
a) |
∫0 |
|
; |
b) |
∫0 |
|
|
|
? |
1 + |
|
|
|||||||
9.11.12. Докажите, что если ( ) – убывающая на [0, +∞) функция, то из сходимости интеграла
∫ +∞
( )
0
следует, что lim →+∞ ( ) = 0.
9.11.13. Докажите, что если функция ( ) интегрируема на отрезке [ , ], а вне этого отрезка равна нулю, то
∫ +∞
lim |
| ( + ) − ( )| = 0. |
→0 −∞
9.11.14. Постройте на [0, +∞) функцию ( ), для которой интеграл
∫ +∞
( )
0
сходится и lim →+∞ ( ) = ∞.
9.11.15. Докажите формулу Фруллани:
∫0 |
+∞ |
( ) − ( ) |
= ( (+ |
∞ |
) |
− |
(0)) ln |
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
где > 0, > 0, а ( ) – непрерывная на [0, +∞) функция, для которой существует предел (+∞) := lim →+∞ ( ).