Таким образом, теорема 5.3.1 получена как следствие теорем 13.1.1 и 13.1.2.

§13.2. Система неявных функций

В§ 13.1 приведены достаточные условия разрешимости уравнения (13.1.3) относительно переменной . Рассмотрим более общую задачу – о разрешимости системы уравнений относительно

переменных.

Определение. Для функций переменных 1( 1, . . . , ), . . . ,( 1, . . . , ), имеющих в точке y частные производные первого порядка по всем переменным, определитель

называют якобианом (в честь К. Якоби) и обозначают

∂( 1, . . . ) (y). ∂( 1, . . . , )

Это обозначение якобиана (как и обозначение частных производных) нужно рассматривать как единый символ, а не как дробь.

непрерывных вместе со всеми частными производными первого

то для каждого числа > 0 существуют такие положительные числа 0 и , что 0 < и в ( + )-мерном прямоугольнике

{(x; y) : | − | < , = 1, . . . , ; | − 0| < 0, = 1, . . . , },

принадлежащем окрестности , система уравнений

относительно 1, . . . , имеет решение, т.е. существуют та-

кие непрерывные в кубе | − 0| < , = 1, . . . , , функции

1, . . . , , что уравнения (13.2.1) равносильны равенствам

При этом если функции 1, . . . , имеют в непрерывные частные производные первого порядка по некоторой переменной, то функции 1, . . . , имеют непрерывные частные производные первого порядка по .

Доказательство. Доказательство провед¨ем индукцией по

– числу уравнений системы (13.2.1). При = 1 утверждения теоремы 13.2.1 вытекают из теорем 13.1.1 и 13.1.2.

Предположим, что теорема 13.2.1 справедлива для системы из

− 1, > 2, уравнения, и докажем е¨ для системы уравнений.

Всилу условий теоремы якобиан

является непрерывной функцией. Будем считать, что он не обращается в нуль не только в точке (x0; y0), а во всей окрестности .

Разложив определитель (13.2.2) по последнему столбцу, видим, что не равны нулю по крайней мере один элемент этого столбца и его алгебраическое дополнение. Уменьшив (в случае необходимости) окрестность и изменив нумерацию функций1, . . . , и переменных 1, . . . , , будем, не теряя общности, считать, что в не обращаются в нуль производная ∂ /∂ и е¨ алгебраическое дополнение, равное якобиану

как систему относительно 1, . . . , −1. Поскольку якобиан (13.2.3) не равен нулю, то по предположению индукции систему (13.2.4) можно разрешить относительно переменных 1, . . . , −1, т.е. существуют непрерывные функции

(13.2.5)

и ( + 1)-мерный куб

{( 1, . . . , , ) : | − 0| < , = 1, . . . , ; | − 0 | < }

(13.2.6)

такие, что в этом кубе выполняются тождества

( 1, . . . , ; 1( 1, . . . , , ), . . . , −1( 1, . . . , , ), ) ≡ 0,= 1, . . . , − 1.

(13.2.7)

При этом справедливы равенства

и функции 1, . . . , −1 имеют в кубе (13.2.6) непрерывные частные производные по переменной .

Последнее уравнение системы (13.2.1) означает, что в кубе (13.2.6) должно иметь место равенство

( 1, . . . , , ) :=

(

:= 1, . . . , ; 1( 1, . . . , , ), . . . ,

)

−1( 1, . . . , , ), = 0.

Докажем, что уравнение ( 1, . . . , , ) = 0 можно разрешить относительно .

Понятно, что в кубе (13.2.6) функция ( 1, . . . , , ) и е¨

С помощью функции определим функции

1( 1, . . . , ) := 1( 1, . . . , , ( 1, . . . , )),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−1( 1, . . . , ) := −1( 1, . . . , , ( 1, . . . , )),

непрерывные в достаточно малой окрестности точки ( 0, . . . , 0 ).

1

Функции

в достаточно малой окрестности точки (x0; y0) являются решением системы (13.2.1).

Осталось убедиться в том, что каждая функция 1, . . . , имеет непрерывную частную производную первого порядка по переменной , если все функции 1, . . . , системы (13.2.1) имели непрерывные частные производные первого порядка по .

Согласно предположению индукции таким свойством обладают функции 1, . . . , −1 из (13.2.5). Отсюда в силу свойств сложных функций следует, что функция имеет непрерывную частную производную по . Значит, согласно теореме 13.1.2 функция имеет непрерывную частную производную по . Поэтому непрерывные частные производные по переменной имеют и функции 1, . . . , −1.

Теорема доказана.