§ 14.3. Метод неопределённых множителей Лагранжа

Таким образом, установленное выше необходимое условие относительного экстремума состоит в том, что градиент grad (x0) можно представить в виде линейной комбинации градиентов grad 1(x0), . . . , grad (x0).

§ 14.3. Метод неопределённых множителей Лагранжа

При исследовании условных экстремумов часто бывает удобен следующий при¨ем, восходящий к Лагранжу.

Будем пользоваться обозначениями из § 14.2 – требуется найти экстремум функции ( 1, . . . , ) при наличии связей (14.2.1), для которых выполнено условие (14.2.3).

Возьм¨ем произвольных пока чисел 1, . . . , и составим с их помощью функцию Лагранжа

(14.3.1) Числа 1, . . . , называют неопредел¨енными множителями Лагранжа.

Рассмотрим задачу на безусловный экстремум функции как функции переменных 1, . . . , и проследим, что это да¨ет для задачи на условный экстремум для функции .

Согласно теореме 14.1.1 для существования безусловного экстремума функции в точке x0 необходимо, чтобы в этой точке выполнялись равенств

Равенства (14.3.2) вместе с(14.2.1) представляют собой систему + уравнений, с помощью которых нужно определить зна-

Заметим, что если искать экстремум функции как функции + переменных 1, . . . , , 1, . . . , , то наряду с (14.3.2) получим

т.е. уравнения связей (14.2.1).

Необходимое условие (14.3.2) на функцию Лагранжа равносильно необходимому условию (14.2.9). В самом деле, уравнения (14.3.2)

т.е. равенства (14.2.9).

Итак, необходимые условия безусловного экстремума функции Лагранжа привели к необходимому условию в задаче на экстремум исходной функции при наличии связей (14.2.1).

Получим теперь достаточные условия относительного экстремума в терминах функции Лагранжа. Будем считать, что в точке x0 выполняется необходимое условие (14.3.3) и в качестве множителей Лагранжа 1, . . . , в взяты те числа, при которых выполнено равенство (14.3.3). Поэтому функцию Лагранжа можно считать зависящей только от 1, . . . , .

Предположим, что все частные производные второго порядка функций (x), 1(x), . . . , (x) непрерывны в некоторой окрестности точки x0.

Сейчас нас интересуют только те точки x, в которых выполнены уравнения связей (14.2.1), а в этих точках

В § 14.2 показано, что задача об относительном экстремуме функции при условии (14.2.3) на связи равносильна задаче о безусловном экстремуме функции ( 1, . . . , − ), заданной формулой (14.2.5).

Достаточные условия экстремума функции можно выразить в терминах квадратичной формы 2 .

Покажем, что для точек ( 1, . . . , ), удовлетворяющих уравнениям связей (14.2.1), второй дифференциал функции равен второму дифференциалу функции , когда переменные − +1,

. . . , выражены через 1, . . . , − , а дифференциалы − +1,

. . . , выражены через 1, . . . , − с помощью соотношений связи.

В самом деле,

2 ( 1, . . . , − ) = = 2 ( 1, . . . , − , − +1( 1, . . . , − ), . . . ,

)

( 1, . . . , − ) =

+ ∑ ∂ ( 1, . . . , ) 2 . (14.3.5)

=1 ∂

В точках ( 1, . . . , ), удовлетворяющих уравнениям (14.2.1), имеем

При каждом умножим равенство из (14.2.6) на и сложим эти произведения по от 1 до . Вычитая получившееся равенство

190Гл. 14. Экстремумы функций многих переменных

Втех случаях, когда квадратичная форма в правой части равенства (14.3.8)

является знакоопредел¨енной, можно сразу сделать вывод о наличии у функции строгого относительного экстремума и сказать, является этот экстремум максимумом или минимумом.

Если же квадратичная форма (14.3.9) не является знакоопредел¨енной, то нужно учесть, что нужно рассматривать не все дифференциалы 1, . . . , , а только те, для которых выполнены условия связей. Подставив в квадратичную форму (14.3.9) выражения − +1, . . . , через дифференциалы независимых переменных 1, . . . , − , получим квадратичную форму относительно 1, . . . , − .

Если эта новая квадратичная форма является знакоопреде- л¨енной, то опираясь на теорему 14.1.3, можно сделать вывод о наличии строгого относительного экстремума функции . А если полученная квадратичная форма может принимать значения разных знаков, то в точке x0 у функции относительного экстремума нет.

Пример. Проиллюстрируем применение полученных результатов об условном экстремуме на задаче об экстремуме функции( , ) = при условии связи ( , ) = + − 2 = 0.

Согласно необходимому условию (14.2.9) градиент функции должен быть коллинеарен градиенту , т.е. вектор ( , ) должен быть коллинеарен вектору (1, 1). Таким образом, должно выполняться равенство = .

Из уравнения связи находим = = 1. Значит, условный экстремум может иметь только в точке (1, 1).

Далее нетрудно убедиться, что действительно имеет экстремум в точке (1, 1) и что это условный максимум.

Решим теперь эту же задачу, используя неопредел¨енные множители Лагранжа.

Для функции Лагранжа ( , ; ) = − ( + − 2) имеем

В стационарной точке 0 − = 0, 0 − = 0. Из уравнения связи находим 0 + 0 = 2. Значит, = 1 и 0 = 0 = 1.

Запишем второй дифференциал функции :

∂2

∂ ∂

= 2 .

Эта квадратичная форма не является знакоопредел¨енной. Но согласно уравнению связи + = 0, т.е. = − . Значит,

∂2 = −2 2

∂ ∂

и имеет в точке (1, 1) локальный относительный максимум.