§ 8.2. Методы интегрирования |
11 |
§ 8.2. Методы интегрирования
Основными при¨емами, используемыми при интегрировании элементарных функций, являются интегрирование по частям и интегрирование с помощью замены переменной (интегрирование подстановкой).
Заметим, что взятие неопредел¨енных интегралов элементарных функций является трудной часто неразрешимой задачей. Здесь требуются опыт и изобретательность.
Теорема 8.2.1 (Интегрирование по частям). Пусть на некотором промежутке функции ( ) и ( ) имеют производные и существует интеграл ∫ ′ . Тогда на этом промежутке существует интеграл ∫ ′ и справедливо равенство, которое называют формулой интегрирования по частям,
∫ |
′ = − ∫ |
′ + , |
(8.2.1) |
где – некоторая постоянная.
Доказательство. Найд¨ем производную функции из правой части (8.2.1):
( −∫ |
′ + )′ |
= ( )′ −(∫ |
′ )′ |
= ′ + ′ − ′ = ′. |
||||||
Таким образом, функция − |
′ + является перво- |
|||||||||
образной функции |
′ |
. Значит, |
неопредел¨енный интеграл |
′ |
||||||
|
|
|
|
∫ |
|
некоторую по- |
||||
существует и отличается от этой первообразной на |
|
∫ |
||||||||
стоянную, т.е. справедливо равенство (8.2.1). Теорема доказана.
Формулу интегрирования по частям записывают также следу-
ющим образом: |
= − ∫ |
|
|
|
||
понимая ∫ |
∫ |
+ , |
(8.2.2) |
|||
как интеграл ∫ |
′ и ∫ |
как ∫ |
′ . |
|||
Теорема 8.2.2 (Замена переменной). Пусть функция ( ) на некотором промежутке имеет первообразную
∫
( ) = ( ) + . (8.2.3)
12 |
Гл. 8. Неопредел¨енный интеграл |
Если функция = ( ) имеет производную на промежутке и все значения ( ) принадлежат промежутку, на котором справедливо равенство (8.2.3), то на функция ( ( )) ′( ) имеет первообразную и выполняется равенство
∫
( ( )) ′( ) = ( ( )) + . |
(8.2.4) |
Доказательство. В силу условий теоремы сложная функция ( ( )) имеет смысл на промежутке , а значит, имеет смысл и сложная функция ( ( )).
Согласно теореме 5.4.1 о производной сложной функции имеем для
( ( )) = |
|
= ( ) |
|
( ) |
|
|
|
( ) = ( ( )) ′( ) |
|||
|
( ) = ( ) = ( ) |
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(в концевых точках имеются в виду односторонние производные). Отсюда вытекает равенство (8.2.4). Теорема доказана.
Формулу (8.2.4) можно записать иначе. Сделаем в (8.2.3) замену = ( ):
∫
( ( )) = ( ) + .
= ( )
Таким образом,
∫ |
( ( )) ′( ) = ∫ |
( ) = ( ) + , |
(8.2.5) |
|
|
|
|
т.е. для вычисления интеграла ∫ ( ( )) ′( ) находим интеграл
∫
( ) и делаем затем замену = ( ). Равенство (8.2.5) называют формулой интегрирования подстановкой.
Если функция = ( ) на промежутке строго монотонна, то существует обратная функция = −1( ) и, если при отображении = ( ) образом является промежуток, равенство (8.2.5) можно записать на н¨ем так:
∫ ∫
( ) = ( ( )) ′( ) + . (8.2.6)
= −1( )
§ 8.3. Интегрирование рациональных дробей |
13 |
§ 8.3. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов ( )/ ( ). Далее будем считать, что и – многочлены с действительными коэффициентами без общих корней, и рассматривать промежуток, не содержащий нулей знаменателя.
Покажем, что для каждой такой рациональной дроби существует элементарная функция, являющаяся е¨ первообразной.
При этом достаточно рассматривать только правильные рациональные дроби (когда степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе). В самом деле, произвольную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Затем воспользоваться линейностью неопредел¨енных интегралов и тем, что интеграл от многочлена является многочленом.
Из курса алгебры известно, что правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы так называемых простейших дробей.
Именно, если – действительный корень кратности знаменателя ( ), то среди таких простейших дробей будут дроби
|
, |
−1 |
, . . . , |
1 |
|
, |
(8.3.1) |
( − ) |
− |
|
|||||
|
( − ) −1 |
|
|
|
|||
где , −1, . . . , 1 – некоторые действительные числа.
А если квадратный тр¨ехчлен 2+ + является произведеним двух комплексных сопряж¨енных корней кратности многочлена( ), то в представлении рациональной дроби ( )/ ( ) участвуют простейшие дроби вида
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
, |
|
−1 |
−1 |
, . . . , |
|
1 |
1 |
, (8.3.2) |
( 2 + + ) |
|
2 + + |
||||||||
|
( 2 + + ) −1 |
|
|
|||||||
где , , . . . , 1, 1 – действительные числа.
Таким образом, в силу линейности неопредел¨енных интегралов задача сводится к интегрированию дробей (8.3.1) и (8.3.2).
Для дробей (8.3.1), пользуясь табличными интегралами, по-
лучаем |
∫ |
−1 |
= 1 ln | − | + , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и если ̸= 1, |
( − ) |
= (− + 1)( |
− ) −1 + . |
(8.3.3) |
|||||
∫ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
Гл. 8. Неопредел¨енный интеграл |
Строго говоря, здесь нужно было бы сделать замену − = , после которой воспользоваться табличными интегралами и вернуться к переменной . Но эти промежуточные шаги ввиду их простоты можно явно не выписывать.
Рассмотрим теперь интегралы от дробей (8.3.2). Преобразуем тр¨ехчлен из знаменателей
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||
2 + + = ( + |
|
|
) |
+ − |
|
. |
|||||
2 |
4 |
||||||||||
Здесь |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− |
> 0. |
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|||||||
Введ¨ем обозначение |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
2 := − |
|
|
|
|
|||||||
|
|
. |
|
|
|||||||
4 |
|
|
|||||||||
После замены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дробь
+
( 2 + + )
переходит в дробь вида
+ ,
( 2 + 2)
значение числа в которой сейчас не нужно.
Представив интеграл от суммы в виде суммы интегралов, по-
лучим |
( 2 + 2) = ∫ |
( 2 + 2) + ∫ |
( 2 + 2) + . |
∫ |
|||
|
+ |
|
|
Интеграл
∫
( 2 + 2)
приводится к табличному заменой = 2 + 2. Тогда = 2 и
∫ |
( 2 + 2) = |
2 ∫ |
= 2 |
+ 2 + . |
|
|
1 |
1 |
|
§ 8.3. Интегрирование рациональных дробей |
|
15 |
||||||
Значит, этот интеграл равен ln , если = |
1, и 1− /(1 − ), |
|||||||
если > 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь интеграл |
|
|
|
|||||
|
|
:= ∫ |
|
( 2 + 2) . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если = 1, то с помощью замены = находим |
+ . |
|||||||
1 = ∫ |
2 + 2 |
= ∫ |
2( 2 |
+ 1) |
= / + = |
arctg |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Здесь при каждом переходе к новому выражению нужно было бы писать новую постоянную . Но обычно в промежуточных преобразованиях произвольную постоянную вообще не пишут, а добавляют е¨ только на последнем шаге.
Так и сделаем, рассматривая интеграл при > 2. Имеем
|
1 |
∫ |
2 + 2 |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
∫ |
|
2 |
|
= |
− |
= |
|
−1 |
− |
|
· |
|
. |
||||
2 |
( 2 + 2) |
2 |
2 2 |
( 2 + 2) |
|||||||||
К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, положив
2
= , = ( 2 + 2) .
Тогда
1= , = (− + 1)( 2 + 2) −1
и согласно (8.2.2)
∫ |
· ( 2 + 2) = |
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
− ∫ |
1 |
= |
||
|
(− + 1)( 2 + 2) −1 |
(− + 1)( 2 + 2) −1 |
|||||
1
=− ( − 1)( 2 + 2) −1 + − 1 −1 .
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
|
|
+ |
2 − 3 |
|
|
|
+ . (8.3.4) |
|
2 2( − 1)( 2 + 2) −1 |
2 2( − |
|
−1 |
||||||
|
|
|
1) |
|
||||||
16 |
Гл. 8. Неопредел¨енный интеграл |
Пользуясь этой формулой, от переходим к −1, затем от−1 к −2 и т.д. Так понижая шаг за шагом индекс у , приходим к интегралу 1.
Теперь оста¨ется только с помощью обратной замены вернуться к исходной переменной .
Проведенные преобразования не только доказывают, что неопредел¨енный интерал от рациональной дроби может быть представлен в виде суммы многочлена, рациональных дробей, логарифмов и арктангенсов, но и показывают, как это можно сделать.
На практике при интегрировании рациональных дробей основной трудностью является нахождение корней знаменателя. Если эти корни известны, то для представления рациональной дроби в виде суммы простейших дробей обычно пользуются методом неопредел¨енных коэффициентов.
Но кроме метода неопредел¨енных коэффициентов могут быть полезны и другие соображения.
Будем считать, что дробь ( )/ ( ) несократима, т.е. многочлены ( ) и ( ) не имеют общих корней.
Если – простой корень знаменателя ( ), то ′( ) ̸= 0 и коэффициент соответствующей простейшей дроби
−
можно найти следующим образом. Пусть
( ) |
= |
|
|
+ ( ), |
|
( ) |
− |
||||
|
|
||||
где ( ) – сумма остальных простейших дробей, знаменатели которых при = не обращаются в нуль.
Пользуясь тем, что ( ) = 0, находим
+ ( )( |
|
) = |
( ) |
( |
) = ( ) : |
( ) − ( ) |
. |
||
|
|
|
|||||||
|
− |
|
( ) − |
|
|
− |
|
||
|
|
|
|
||||||
Переходя в этом равенстве к пределу при → , получим
( )= ′( ) .
Подобные соображения можно применить и в случае кратных корней знаменателя. Естественно, формулы при этом будут сложнее.