являющееся многомерным аналогом теоремы Пифагора. Обе точ-

ки и * принадлежат плоскости, поэтому ( − *, ) = 0. Значит,

( − *, − *) = 0 и

2( , ) = ( − , − ) = ( − * + * − , − * + * − ) =

=( − *, − *) + ( * − , * − ) =

=2( , *) + 2( *, ).

Из (11.1.10) следует, что минимальное расстояние точки от точек плоскости (11.1.8) равно ( , *).

С помощью (11.1.9) находим

2( , *) = ( − *, − *) = ( − 0, )2.

Следовательно, расстояние точки до плоскости (11.1.8) равно

( , *) = |( − 0, )|.

Если ( 1, . . . , ) – координаты точки , то через коэффициенты уравнения (11.1.5) это равенство записывается так:

=1

Напомним, что числа 1, . . . , здесь удовлетворяли условию (11.1.7).

В тр¨ехмерном случае проведенные рассуждения означают, что

из точки проведен перпендикуляр к плоскости (11.1.5) и найдена длина этого перпендикуляра.

§ 11.2. Открытые и замкнутые множества

Определение. Точка x называется внутренней точкой множества E , если существует -окрестность точки x, принадлежащая .

Множество называется открытым, если каждая его точка является внутренней.

Покажем, что открытый шар является открытым множеством. Этот факт нуждается в доказательстве, так как определения открытого шара и открытого множества давались по-разному.

Обычно в подобных случаях целесообразно сначала обосновать соответствующее утверждение для множеств на плоскости из элементарных геометрических соображений. А затем провести такие рассуждения в -мерном пространстве.

Пусть 0 – открытый шар радиуса с центром в точке x0 и точка x 0, т.е. (x0, x) < . Чтобы показать, что x – внутренняя точка шара 0, построим открытый шар 1 с центром в x радиуса − (x0, x). Для каждой точки y шара 1 согласно неравенству треугольника

(x0, y) 6 (x0, x) + (x, y) < (x0, x) + − (x0, x) = .

Значит, y лежит в 0, поэтому x – внутренняя точка шара 0 и0 – открытое множество.

Аналогично можно доказать, что открытые -мерные прямоугольники также являются открытыми множествами.

Теорема 11.2.1. Объединение произвольного набора открытых множеств является открытым множеством.

Пересечение конечного набора открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство. Пусть множество является объединением открытых множеств

где – некоторый набор индексов .

Если точка x , то x 0 при некотором 0. Так как множество 0 – открытое, то вместе с x ему принадлежит и некоторая -окрестность точки x. Эта окрестность принадлежити, значит, множество является открытым.

Докажем теперь утверждение о пересечениях. Пусть является пересечением конечного набора открытых множеств ,

= 1, . . . , :

Если точка x , то x при всех = 1, . . . , . Каждому принадлежит некоторая -окрестность точки x. Положим

:= min( 1, . . . , ). Тогда > 0 и -окрестность точки x принадлежит каждому множеству , а значит, и множеству . Таким образом, x является внутренней точкой .

Теорема доказана.

В теореме 11.2.1 нельзя брать пересечение бесконечного набора открытых множеств. В самом деле, если в качестве множеств, N, взять открытые шары радиуса 1/ с центром в точке 0, то пересечением является точка 0, т.е. пересечение не является открытым множеством.

Наряду шаровыми и кубическими окрестностями вводится общее определение окрестности точки, как произвольного открытого множества, содержащего эту точку. Ясно, что каждая такая окрестность содержит шаровую окрестность. При этом окрестностями являются объединения произвольного набора окрестностей и пересечения конечного набора окрестностей.

Множество E называют связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, лежащей в . Точнее здесь было бы говорить о линейной (от слова линия) связности, чтобы отличать е¨ от других определений связности, которых в этом курсе касаться не будем.

Открытое связное множество в E называют областью. Впрочем, слово область часто используется более широко. Например, область задания и область значений функции, когда слово “область” заменяет слово “множество”.

Определение. Точка x называется предельной точкой множества , если каждая окрестность точки x содержит бесконечно много точек множества .

Предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству .

Легко убедиться, что точка x является предельной точкой множества в том и только том случае, когда существует сходящаяся к x последовательность точек из , не содержащая точку x.

Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Эквивалентная формулировка – множество называется замкнутым, если предел любой сходящейся последовательности точек из принадлежит .

Множества из конечного числа элементов, а также пустое множество не имеют предельных точек, они являются замкнутыми множествами.

Покажем, что замкнутый шар является замкнутым множеством. Необходимость такого доказательства и подход к доказательству – те же, что и для открытых шаров.

Рассмотрим замкнутый шар радиуса > 0 с центром в точке x0, т.е. множество таких точек x, что (x, x0) 6 , и покажем, что никакая точка вне шара не может быть его предельной точкой.

Пусть точка x* лежит вне шара, т.е. (x*, x0) > . Положим:= (x*, x0) − и рассмотрим точки y из -окрестности точки x*. По неравенству треугольника

(x0, x*) 6 (x0, y) + (y, x*).

Отсюда

(x0, y) > (x0, x*) − (y, x*) > (x0, x*) − ( (x0, x*) − ) = .

Значит, все такие точки y лежат вне исходного шара и x* не может быть его предельной точкой. Поэтому рассматриваемый шар является замкнутым множеством.

Аналогично можно доказать замкнутость замкнутых прямоугольников.

Теорема 11.2.2. Пересечение произвольного набора замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Объединение конечного набора замкнутых множеств является замкнутым множеством.

где все множества замкнуты. Рассмотрим произвольную последовательность точек {x( )} из , сходящуюся к некоторой точке x*. Каждая точка x( ) принадлежит всем множествам и в силу замкнутости этих множеств точка x* принадлежит всем, а значит, принадлежит и .

Докажем второе утверждение теоремы. Пусть

и множества замкнуты. Для каждой последовательности точек, принадлежащих и сходящихся к некоторой точке x*, имеется множество , содержащее бесконечно много точек этой последовательности. В силу замкнутости точка x* принадлежит этому множеству, а значит, принадлежит .

Теорема доказана.

Здесь существенно, что рассматривалось объединение именно конечного набора замкнутых множеств. В самом деле, на оси (−∞, +∞) множества

замкнуты, а их объединение

∞

= [0, 1)

=1

не замкнуто.

Теорема 11.2.3. Если множество замкнуто, а множество открыто, то разность r замкнута.

Доказательство. Покажем, что предельные точки множества r принадлежат этому множеству.

Если x0 – предельная точка r , то x0 – тем более предельная точка и, значит, x0 . При этом точка x0 не может принадлежать , иначе она принадлежала бы вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. существовала бы окрестность точки x0, свободная от точек r .

Теорема доказана.

Если к произвольному множеству присоединить его предельные точки, то полученное множество называют замыканием

и обозначают .

Определение. Точка называется граничной точкой множества , если каждая е¨ окрестность содержит как точки, принадлежащие , так и точки, не принадлежащие . Множество всех граничных точек множества называют его границей и обозначают ∂ .

Теорема 11.2.4. Множество открыто в том и только том случае, когда ∂ ∩ = ?.

Множество замкнуто в том и только том случае, когда

∂ .

Доказательство. Пусть – открытое множество. Если x ∂ , то x не может принадлежать , так как каждая точка множества принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, а любая окрестность точки из ∂ должна содержать точки, не принадлежащие .

Наоборот, пусть ∂ ∩ = ?. Если точка x , то x / ∂ и существует окрестность x, все точки которой принадлежат , – иначе точка x принадлежала бы границе множества . Значит, множество открыто.

Докажем утверждение о замкнутых множествах.

Каждая точка границы произвольного множества либо принадлежит , либо является его предельной точкой. Поэтому, если

замкнуто, то ∂ .

Сдругой стороны, каждая предельная точка множества принадлежит или или ∂ . Поэтому, если ∂ , то множество

замкнуто.

Теорема доказана.

Следствие 11.2.5. Множество E замкнуто в том и только том случае, когда его дополнение, т.е. множество E r , открыто.

Это утверждение вытекает из теоремы 11.2.4, так как граница множества является также границей его дополнения.

Любое множество из E , кроме всего пространства E и пустого множества ?, имеет граничные точки. Только эти два множества являются одновременно и замкнутыми и открытыми. Так как некоторые точки границы множества могут принадлежать множеству, а другие точки границы ему не принадлежать, то множество может быть и не замкнутым и не открытым.

Определение. Непустое множество точек пространства E называется компактным или компактом, если оно замкнуто и ограничено.

Нам понадобится ещ¨ следующее понятие. Пусть даны множество и семейство множеств . Если каждая точка принадлежит некоторому множеству этого семейства, т.е. если

то говорят, что семейство множеств покрывает множество .

Теорема 11.2.6 (Лемма Гейне–Бореля). Если семейство открытых множеств { } покрывает компакт E , то существует конечный набор множеств семейства { }, которые покрывают .

Доказательство. Провед¨ем рассуждения от противного. Допустим, что компакт нельзя покрыть конечным набором множеств семейства { }.

Рассмотрим замкнутый куб , содержащий компакт . Разделив каждое ребро куба пополам, построим на полученных р¨ебрах 2 одинаковых замкнутых кубиков. Порции компакта (т.е. части ), попавшие в каждый из этих кубиков, являются замкнутыми множествами. По крайней мере одну из этих порций множества нельзя покрыть конечным набором множеств семейства { }.

Бер¨ем теперь кубик, содержащий такую порцию компакта , этот кубик также делим на 2 одинаковых замкнутых кубиков следующего поколения и находим среди них такой, что содержащуюся в н¨ем порцию компакта нельзя покрыть конечным набором множеств семейства { }.

Продолжив неограниченно такое построение, получим последовательность замкнутых вложенных кубов, диаметры которых стремятся к нулю и в каждом кубе есть точки множества . Согласно теореме 11.1.2 существует точка x*, принадлежащая всем этим кубам, которая в силу замкнутости множества принадлежит .

В семействе { } имеется множество *, которому принадлежит точка x*, прич¨ем является его внутренней точкой. Значит, достаточно малая окрестность точки x* содержится в *.

Так как диаметры кубиков построенной последовательности стремятся к нулю, то все эти кубики, начиная с некоторого, попадут в указанную окрестность точки x* и, таким образом, будут покрыты множеством *.