Глава 9. Определ¨енный интеграл
§ 9.1. Определение интеграла Римана
Говорят, что точки 0, 1, . . . , образуют разбиение отрезка [ , ], если
= 0 < 1 < · · · < = ,
т.е. 0, 1, . . . , – строго возрастающая последовательность точек и концы отрезка принадлежат этой последовательности. Разбиения отрезка будем обозначать .
Таким образом, отрезок [ , ] раздел¨ен точками 0, 1, . . . , на отрезков [ −1, ], = 1, 2, . . . , . Длину отрезка [ −1, ] обозначим := − −1. Наибольшую из длин отрезков, полученных при разбиении , т.е. число
:= max ,
=1,...,
называют диаметром разбиения .
Напомним, что разбиения промежутков использовались в S 7.2. Пусть на отрезке [ , ] задана функция ( ) и – некоторое разбиение [ , ]. В каждом отрезке [ −1, ] разбиения возьм¨ем
произвольно точку и составим сумму
∑
( ) . (9.1.1)
=1
Сумму (9.1.1) называют интегральной суммой Римана функции , соответствующей разбиению и выбору точек { }, и обозначают ( , ) или ( ).
Определение. Функцию , заданную на отрезке [ , ], называют интегрируемой по Риману на этом отрезке, если существует число такое, что для каждого > 0 имеется число ( ) > 0, при котором для любого разбиения отрезка [ , ] диаметра, меньшего , и произвольном выборе точек [ −1, ], = 1, 2, . . . , , справедлива оценка
| ( , ) − | < . |
(9.1.2) |
23
24 |
Гл. 9. Определ¨енный интеграл |
Число называют определ¨енным интегралом Римана от функции на отрезке [ , ] и обозначают
∫
( ) . (9.1.3)
Числа и называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а ( ) – подынтегральной функцией.
Это определение интеграла было дано Б. Риманом (1854). Ранее подобное определение для непрерывных функций дал О. Коши (1823). В § 9.2 будет доказано, что непрерывные на отрезке функции интегрируемы по Риману.
Если функция интегрируема на отрезке [ , ], будем писать
[ , ].
Значениями функции в определении интеграла могут быть как действительные, так и комплексные числа. В дальнейшем всюду, если не оговорено противное, будем иметь в виду интегралы действительнозначных функций.
Понятно, что если функция интегрируема по Риману, то значение е¨ интеграла определяется однозначно.
Для краткости будем называть интеграл (9.1.3) определ¨енным интегралом, не добавляя, что это интеграл Римана.
В качестве простейшего примера вычислим определ¨енный интеграл от функции, принимающей постоянное значение на всем отрезке [ , ]. В этом случае ( ) = для любых точек и, значит, для каждого разбиения
∑
( ) = = ( − ).
=1
Таким образом,
∫
= ( − ).
Покажем, что определ¨енный интеграл может существовать только для ограниченных функций.
Теорема 9.1.1. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
§ 9.2. Условия интегрируемости. Суммы Дарбу |
25 |
Доказательство. Предположим, что функция ( ) неограничена на отрезке [ , ], и рассмотрим для произвольного разбиения отрезка [ , ] интегральную сумму Римана при каком-либо выборе точек [ −1, ], = 1, 2, . . . , :
∑
( ) = ( ) .
=1
Функция ( ) неограничена по крайней мере на одном из от-
резков разбиения. Пусть это отрезок [ |
−1 |
, ]. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑̸ |
|
|
( ) = ( ) + |
|
( ) |
|
=1, =
и, значит,
∑
| ( )| > | ( )| −
( ) .
=1, ̸=
Считая числа при ̸= фиксированными, для каждого числа точку можно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство | ( )| > . Таким образом, интегральные суммы Римана неограничены и, значит, функция не интегрируема.
Теорема доказана.
Таким образом, ограниченность функции необходима для е¨ интегрируемости. Но это условие не является достаточным, что видно на примере функции Дирихле
{
( ) := 1, если рационально,
0, если иррационально.
Для каждого разбиения отрезка [ , ] можно выбрать точки , для которых ( ) = 1 при всех . Тогда ( ) = − . А взяв точки так, чтобы при всех выполнялись равенства( ) = 0, получим ( ) = 0. Таким образом, функция Дирихле не интегрируема ни на каком отрезке [ , ].
§9.2. Условия интегрируемости. Суммы Дарбу
Всилу теоремы 9.1.1 вопрос о существовании интеграла нужно рассматривать только для ограниченных функций.
26 |
Гл. 9. Определ¨енный интеграл |
Если функция ограничена на [ , ] и е¨ значениями являются действительные числа, то для каждого разбиения конечны величины
( ) = := |
|
sup ( ), |
( ) = := |
inf ( ). |
|||
|
[ −1, ] |
|
[ −1, ] |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(9.2.1) |
Определение. Сумму |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
( ) = |
|
:= |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
называют верхней, а сумму |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
( ) = := |
( ) |
|
|||
=1
– нижней интегральными суммами Дарбу функции ( ), соответствующими разбиению .
Говоря о суммах Дарбу, слово “интегральная” будем для краткости опускать.
В отличие от интегральных сумм Римана, которые определяются разбиением и выбором точек , суммы Дарбу зависят только от разбиения .
Понятно, что если функции ( ) и ( ) ограничены на отрезке и ( ) 6 ( ) при всех , то ( ) 6 ( ) и ( ) 6 ( ) для любого разбиения .
Сравнивая интегральные суммы Дарбу и Римана, видим, что для каждого разбиения при произвольном выборе точек [ −1, ] справедливы неравенства
6 ( ) 6 . |
|
||
При этом согласно определению величин и |
|
||
sup ( ) = |
|
|
(9.2.2) |
|
|||
|
|
||
и |
|
||
inf ( ) = . |
(9.2.3) |
||
|
|
||
§ 9.2. Условия интегрируемости. Суммы Дарбу |
27 |
Лемма 9.2.1. Пусть для функции на отрезке выполнено условие | ( )| 6 . Если к произвольному разбиению этого отрезка добавить ещ¨ одну точку, то верхняя сумма Дарбу не увеличится, а уменьшиться может не более, чем на 2 . Нижняя сумма Дарбу при этом может только увеличиться, но не более, чем на 2 .
Доказательство. Пусть точка *, которую добавили к разбиению , попала в отрезок [ −1, ] разбиения . Тогда по крайней мере на одном из отрезков [ −1, *] и [ *, ] верхняя грань значений ( ) не изменится, а на другом верхняя грань значений ( ) может уменьшиться, но не более, чем на 2 . Поэтому верхняя сумма Дарбу не может увеличиться, а уменьшиться может не более, чем на 2 , т.е. не более, чем на 2 .
Для нижней суммы Дарбу доказательство аналогично.
Теорема 9.2.2. Если функция ограничена на отрезке, то для любых двух разбиений 1 и 2 этого отрезка справедливо неравенство
1 |
6 2 . |
(9.2.4) |
Доказательство. Рассмотрим разбиение, образованное всеми точками разбиений 1 и 2. Обозначим его := 1 2.
Так как разбиение получено за сч¨ет добавления новых точек и к 1, и к 2, то согласно лемме 9.2.1 6 2 и 1 6 .
Поскольку 6 , отсюда вытекает оценка (9.2.4). Теорема доказана.
Из теоремы 9.2.2 следует, что для каждой ограниченной функции конечна нижняя грань inf и 1 6 inf для любого разбиения 1. Обозначим
*( ) := inf .
Число *( ) называют верхним интегралом Дарбу функции . Аналогично, величину
*( ) := sup
называют нижним интегралом Дарбу функции .
Таким образом, для каждой ограниченной функции верхний и нижний интегралы Дарбу существуют и для произвольного
28 |
|
Гл. 9. |
Определ¨енный интеграл |
|||
разбиения выполняются неравенства |
|
|
|
|
||
( ) 6 |
|
( ) 6 *( ) |
6 |
|
( ). |
(9.2.5) |
* |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 9.2.3. Для интегрируемости ограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы для каждого> 0 существовало > 0 такое, что для каждого разбиения , диаметр которого < , справедлива оценка
|
|
|
|
|
( ) − ( ) < . |
(9.2.6) |
|
Доказательство. Пусть функция |
интегрируема и – е¨ |
||
интеграл. |
|
||
Согласно определению интеграла для каждого > 0 существует > 0 такое, что для произвольного разбиения , диаметр которого < , и любого набора точек , принадлежащих
отрезкам разбиения [ |
−1 |
, ], для интегральных сумм Римана |
||||
|
|
|
|
|||
( , ) выполняются оценки |
|
|
||||
− |
|
< ( , ) < + |
|
|||
|
|
. |
||||
3 |
3 |
|||||
Переходя в этом двойном неравенстве к верхним и нижним граням по и пользуясь равенствами (9.2.2) и (9.2.3), находим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
− |
|
6 |
( ) 6 ( ) 6 + |
|
. |
|
|
||||||
3 |
3 |
|
|||||||||||||
Отсюда следует, что |
|
( + 3) |
− ( − |
3) = 23 |
|
||||||||||
|
( ) − ( ) 6 |
< |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и необходимость условия теоремы установлена.
Докажем достаточность. По > 0 находим > 0 такое, что− < для любого разбиения , для которого < .
Согласно (9.2.5)
( ) 6 * 6 ( ),
а для интегральных сумм Римана при любом выборе точек имеем
( ) 6 ( , ) 6 ( ).
§ 9.2. Условия интегрируемости. Суммы Дарбу |
29 |
Значит, для произвольных точек
| ( , ) − *| 6 ( ) − ( ) < .
Так как эта оценка имеет место для каждого разбиения , для которого < , то функция интегрируема и е¨ интеграл Римана равен верхнему интегралу Дарбу.
Теорема доказана.
Если при доказательстве достаточности брать не верхний, а нижний интеграл Дарбу, то получим равенство значений интеграла Римана и нижнего интеграла Дарбу. Следовательно, для интегрируемых функций значения интеграла Римана, верхнего и нижнего интегралов Дарбу совпадают.
В дальнейшем будет показано, что из равенства верхнего и нижнего интегралов Дарбу вытекает интегрируемость функции, т.е. справедливо следующее утверждение.
Теорема 9.2.4. Для интегрируемости ограниченной на отрезке [ , ] функции необходимо и достаточно равенство е¨ верхнего и нижнего интегралов Дарбу. Если это условие выполнено, то
∫
( ) = *( ) = *( ).
Согласно теореме 9.2.3 для интегрируемости функции необходимо и достаточно, чтобы условие (9.2.6) выполнялось для всех разбиений, диаметр которых мал. Покажем, что выполнение этого условия можно требовать только для одного разбиения.
Теорема 9.2.5. Для интегрируемости ограниченной на отрезке [ , ] функции необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного числа существовало разбиение отрезка [ , ] такое, что
( ) − ( ) < .
Доказательство. Необходимость вытекает из теоремы 9.2.3. Докажем достаточность.
Задав > 0, найд¨ем разбиение * такое, что
* − * < |
|
(9.2.7) |
2 . |
Пусть – число отрезков, на которые * разбивает отрезок [ , ], и | ( )| < при всех [ , ].
30 |
|
|
|
Гл. 9. Определ¨енный интеграл |
|||||||||
|
Выберем > 0 так, чтобы выполнялось неравенство |
|
|||||||||||
|
|
2 < |
|
|
(9.2.8) |
||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|||||||||||
и |
рассмотрим произвольное разбиение , диаметр |
которого |
|||||||||||
< . |
|
|
|||||||||||
|
Введ¨ем разбиение ′ := *. Так как ′ |
получено из * |
|||||||||||
добавлением точек разбиения , то |
|
|
|||||||||||
|
* 6 ′ 6 |
|
6 |
|
. |
|
|
||||||
|
′ |
* |
|
|
|||||||||
Значит, в силу (9.2.7) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.2.9) |
|||
|
|
′ − ′ < |
|
. |
|
||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||
Теперь воспользуемся тем, что разбиение ′ получено из добавлением к нему точек разбиения *, лежащих внутри отрезка [ , ], т.е. добавлением не более − 1 точки.
Согласно лемме 9.2.1 от добавления к разбиению одной точ-
ки верхняя сумма Дарбу может уменьшиться не более, чем на 2 . Поэтому
6 ′ + 2 ( − 1) < ′ + 2
и в силу (9.2.8)
< ′ + 4 .
Поскольку при добавлении к одной точки нижняя сумма Дарбу может увеличиться не более, чем на 2 , то точно
так же находим
> ′ − 4 .
Из этих оценок и (9.2.9) получаем
− < ′ + 4 |
− |
( ′ − 4) |
= ′ − ′ + |
2 < . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как – произвольное разбиение, для которого < , то согласно теореме 9.2.3 функция интегрируема.
Теорема доказана.
§ 9.2. Условия интегрируемости. Суммы Дарбу |
31 |
Теперь завершим доказательство теоремы 9.2.4. Согласно сказанному выше осталось показать, что функция интегрируема, если равны е¨ верхний и нижний интегралы Дарбу.
Пусть обозначает общее значение верхнего и нижнего интегралов Дарбу.
Согласно определению интегралов Дарбу для каждого > 0 существуют такие разбиения 1 и 2, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− |
< |
1 |
6 , |
|
|
6 2 < + |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Для разбиения * := 1 |
2 имеем |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− |
< |
1 |
6 |
* 6 |
* 6 2 < + |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
и, значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
( − 2) = . |
|
|
|||||||||||
|
* − * < + 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда в силу теоремы 9.2.5 вытекает интегрируемость функции .
Теперь теорема 9.2.4 доказана полностью.
С помощью доказанных теорем легко установить интегрируемость непрерывных функций и интегрируемость монотонных функций.
Теорема 9.2.6. Функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Непрерывная на отрезке [ , ] функция по теореме Кантора 4.4.1 равномерно непрерывна на этом отрезке. Значит, согласно теореме 4.4.4 для модуля непрерывности функции на [ , ] имеем ( , +0) = 0.
Для произвольного разбиения отрезка [ , ] справедливо равенство
∑
( ) − ( ) = ( ( ) − ( )) ,
=1
где числа ( ) и ( ) заданы формулами (9.2.1). Так как функция непрерывна, то в силу теоремы 4.3.2 для каждого существуют точки и из отрезка [ −1, ], для которых ( ) =
32 |
Гл. 9. Определ¨енный интеграл |
( ) и ( ) = ( ). Обе точки и принадлежат отрезку [ −1, ], значит, | − | 6 6 и
( ) − ( ) = ( ) − ( ) 6 ( , ).
Поэтому
|
|
|
|
( ) − ( ) 6 |
∑ |
|
( , ) = ( , )( − ). (9.2.10) |
|
|
|
=1 |
Поскольку ( , +0) = 0, для каждого > 0 существует ( ) > 0 такое, что ( , )( − ) < , если только < . Значит, для таких разбиений
( ) − ( ) < ,
откуда согласно теореме 9.2.3 вытекает интегрируемость функции .
Теорема доказана.
Теорема 9.2.7. Функция, монотонная на отрезке, интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Будем для определ¨енности считать, что функция возрастает (не обязательно строго) на отрезке [ , ] и( ) < ( ), иначе утверждение теоремы очевидно.
Для любого разбиения имеем
∑
( ) − ( ) = ( ( ) − ( )) =
=1
∑
=( ( ) − ( −1)) 6
=1
∑
6( ( ) − ( −1)) = ( ( ) − ( )) .
=1
По > 0 выберем разбиение , для которого
< ( ) − ( ) .
Тогда ( ) − ( ) < и теорема доказана.
§ 9.2. Условия интегрируемости. Суммы Дарбу |
33 |
Выясним геометрический смысл интегральных сумм Дарбу неотрицательных функций.
Пусть функция ( ) неотрицательна на отрезке [ , ]. Рассмотрим множество точек ( , ) плоскости, удовлетворяющих условиям 6 6 , 0 6 6 ( ). Таким образом, множество ограничено сверху графиком функции ( ), снизу отрезком [ , ] оси , слева – отрезком, соединяющим точки ( , 0) и ( , ( )), справа – отрезком, соединяющим ( , 0) и ( , ( )), Такое множество называют криволинейной трапецией.
Пусть – разбиение отрезка [ , ] точками = 0 < 1 < · · · <= , а числа ( ) и ( ) определены формулами (9.2.1). Произведение ( ) можно рассматривать как площадь прямоугольника, основанием которого является отрезок [ −1, ], а высота равна ( ). Точно также, произведение ( ) равно площади прямоугольника с тем же основанием, высота которого равна ( ).
Таким образом, верхняя сумма Дарбу ( ) равна сумме площадей прямоугольников, порожд¨енных разбиением , содержащих множество . Нижняя сумма Дарбу ( ) равна сумме площадей прямоугольников, содержащихся во множестве .
Если функция интегрируема на отрезке [ , ], то для каждого > 0 можно найти разбиение такое, что ( ) − ( ) < . Значит, разность суммы площадей прямоугольников, содержащих множество , и прямоугольников, содержащихся в , меньше . Для интегрируемых функций существуют разбиения, для которых верхняя и нижняя суммы Дарбу как угодно мало отличаются от интеграла ∫ ( ) . Поэтому значение этого интеграла называют площадью множества .