МЕХАНИКА (1)

9.3. Силы инерции

У

Сила, численно равная произведению массы материальной точки

Т

на приобретенное ею ускорение и направленная в сторону, противо-

положную ускорению, называется силой инерции (рис. 9.3):

Н

Fин

ma .

Б

й

и

Рис. 9.3. С ла нерц

Сила инерции в действительности не приложена к получившей

ускорение материальной т чке,

а действует на точку или тело, ко-

торое сообщает ускорение э

йрт чке.

Поясним это несколькими примерами.

Тяжелый груз, масса коорого m, висит на непрочной, но спо-

собной выдержать натяжение R = G нити (рис. 9.4, а). Если теперь

резко потянуть н

верт кально вверх, то она может оборваться

(рис. 9.4, б). На нитьначинает действовать дополнительная сила

инерции

з

ma , противодействующая выходу

Fин , численно равная

груза из

состояния инерции (рис. 9.4, в). Нить может оборваться и в

том случае, если толкнуть в горизонтальном направлении подве-

ш нныйпгруз, заставив его раскачиваться на нити (рис. 9.4, г).

При криволинейном движении материальной точки (рис. 9.5) у

е

которое обычно заменяют двумя со-

нее возникает ускорение a ,

ставляющими ускорениями: an

(нормальное ускорение) и aτ (каса-

Р

Fин.n

man

и касательная (иначе тангенциальная) сила инерции

Fин.τ

maτ ;

2

an

;

Т

ρ

У

m

2

Fин.n

или

Н

ρ

ρ ω; Fин.n mω2ρ.

Б

й

и

р

о

т

и

в

г

а б

з

о

п

Р с. 9.4. К анализу дейсвия сил инерции

е

Р

решения многих задач, в которых рассматривается движение несво-

бодной материальной точки, свести к знакомым нам уравнениям

статики:

У

Т

maτ

Fин ;

Fk

Rk

ma

0;

Н

Fk

Rk

Fин

0.

Б

Условно прикладывая силу инерции Fин

к движущейся матери-

й

Fk

альной точке, можем считать,

что активные силы

, реакции свя-

ки

зей Rk

Fин

и сила инерции

образуют уравновешенную систему

(принцип Даламбера).

р

Решение задач динамики с помощью принципа Даламбера ино-

гда называют методом

кинетостат

.

т

ГЛАВА 10. РАБОТА И МОЩНОСТЬ

при

з

10.1. Рабо а постоянной силы

о

прямолинейном перемещении

Если

действии постоянной силы F на точку М (рис. 10.1) ее

перемещение M0 M1 S ,

то скалярная мера действия силы называ-

тся работой:

при

W

FS cos α ,

(10.1)

гдеα – угол между направлением действия силы и направлением

перемещения.

РВ системе СИ работа выражается в джоулях: 1 Дж = 1 H∙м, ки-

У

Рис. 10.1. Работа силы

Т

α

Н

1. При изменении угла

в пределах

0

α

90

значение

cos α

0 . Поэтому если угол α – острый,

то работа силы F

положительная. В частном случае, когда направление действия

й

( α = 0),

силы

совпадает

с

направлением

перемещений

cos α

cos 0

1 и W

F S, W 0 .

Б

2. При изменении угла

α

в пределах 90°< α <180° значение

cos α

р

0 . Следовательно, если угол

α – тупой, то работа си-

о

лы F

отрицательная.

В

частномислучае

при

α = 180°

cos α

cos 180

1 и W

F S, W

0 .

3.

Заметим,

что

α =

90° значение

cos α

cos90 0 и

W

0

при

, т. е. работа с лы, направленной перпендикулярно переме-

т

щению точки, равна нулю.

о

Рассмотренные выше три частных случая значений работы силы

при

α

= 0°, α

= 180°, α

= 90° аналогичны значениям работы силы

п

тяжести. Раб зта силы тяжести не зависит от траектории движения

точки и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот

е

в исходном и конечном положениях. Если точка М (рис. 10.2) пере-

Р

м ща тся из положения M1 в положение М2, то при любой траекто-

рии точки работа силы тяжести:

W

G h G h1

h2

,

У

а

б

Т

в

Рис. 10.2. Работа силы тяжести:

Н

Б

а: h1

h2

б: h1

h2

в: h1

h2

h h1

h2

0

h h1

h2

0

h h h 0

й

1

2

W

0

W

0

W

0

G

движущая сила

G

сила сопротивления

р

10.2. Работа равнодействующей силы

однов

иеменно несколько сил, то алгеб-

Если на точку действует

раическая сумма их раб

равна

аботе равнодействующей силы.

т

Допустим,

что перемещение т чки M0 M1 S произошло при

и

действии на нее трех с л: F1, F2

и F3

(рис. 10.3). Тогда,

обозначив

з

работу каждой

с л соответственно W1, W2 и W3, можем записать:

W1

F1 cos α1S, W2

F2 cos α2S, W3

F3 cos α3S.

п

е

Сложиворавые и левые части этих равенств, получим

Р

W1

W2

W3

F1 cos α1

F2 cos α2

F3 cos α3 S.

Известно, что сумма проекций сил на некоторую ось равна про-

екции равнодействующей этих сил на ту же ось:

F1 cos α1

F2 cos α2

F3 cos α3

F cos α.

У

Т

Н

Б

Рис. 10.3. Работа равноде

ствующей силы

и

Так как F cos α S W

р

и есть

абота равнодействующей силы

о

т

F1

F2

F3 ,

то

и

F

з

W1

W2

W3

W

о

или в общем случае для любого числа сил:

п

Wk

W .

При равномерном прямолинейном движении точки приложенная

Р

к н й система сил уравновешена (первая аксиома динамики), т. е.

Fе0 , и тогда

Wk

0

M0 M1

траектории разделить на множество частей dS , настолько

У

малых,

что каждую

из них

можно считать

отрезком прямой

(рис. 10.4, а). Тогда работа силы F на перемещении dS

, так называ-

емая элементарная работа:

Т

dW

F cos α dS.

Н

Б

й

и

а

р

б

о

т

и

Рис. 10.4. Рабо а переменной силы при перемещении

з

по криволинейной траектории

о

Просуммировав все элементарные работы переменной силы F ,

получим ее раб ту на участке траектории от M0 до M1:

п

M

е

W

F cos α dS.

(10.2)

Р

M0

азложив силу F на составляющие Fn и Ft

, направленные со-

M

W

Ft dS.

M0

Интегралы могут быть определены лишь в том случае, если из-

вестен закон движения точки.

Т

10.4. Мощность

Н

У

Скалярная величина

P

W

,

Б

t

характеризующая быстроту совершения работы, называется сред-

ней мощностью силы. В СИ мощность выражается в ваттах:

и

Дж

кг

м2

/с2

кг

м2

р

1 Вт = 1

= 1

= 1

с3

;

с

о

с

й

FS cos α

т

F cos α .

P

t

и

з

Если в течен е неко орого времени t мощность машины остается

постоянной или меняется несущественно, то произведенная работа

фо

выражается рмулой

п6

W

P t ,

е

отсюда и оявляется единица времени 1 кВт · ч = 103 Вт · 3600 c =

Р

= 3,6 · 10 .

– вредное сопротивление Fвс, которое приходится вынужденно

преодолевать попутно с полезным.

У

Тогда вся работа, которую совершает машина или механизм:

W

Wпс

Wвс

,

Т

Н

где Wпс – работа по преодолении полезного сопротивления, отсюда