МЕХАНИКА (1)

Rn

G cos α;

– сила трения Rf, значение которой

У

Rf

f

Rn

f

G cos α.

Т

S

Н

F

Rn

F

M

Б

R f

h

G

Рис. 10.7. Работа силы на наклонной плоскости

и

При равномерном подъеме тела М четыре силы образуют уравно-

вешенную систему. Алгебраическая суммайработ этих сил равна нулю:

о

WF

WG

WRf

WRn

0;

т

W

WрW W ,

F

G

Rf

Rn

и

з

яжес и;

где WG – работа с лы

WRf

–

с лы трения;

WRn

работа

– раб та н рмальной реакции.

п

е

G cos(α

90 )S

G S sin α;

Р

WG

WRf

Rf S cos180

Rf S

f G S cos α;

WRn

Rn S cos 90

0;

WF

G S sin α

f

S G cos α

G S (sin α f cos α).

Если же требуется определить значение силы F, то с учетом то-

го, что WF

F S , получаем

F

WF

G S(sin α

f cos α)

G(sin α f cos α).

S

S

Полезную часть работы сил F составляет работа по подъему тела

на высоту h

S sin α и тогда

У

Wп G h G S sin α.

Т

Таким образом, КПД наклонной плоскости при подъеме груза

Н

силой направленной параллельно наклонной плоскости:

WG

Б

η

WF

G S sin α

f cos α

sin α

f cos α

;

tgα

й

η

tgα

f

.

и

р

зав сит

только от угла

ее

Вывод: КПД наклонной плоскости

о

наклона и коэффициента трения п

перемещении груза по плоско-

сти.

т

и

10.7. Работа и мощнос ь при вращательном движении тел

з

Допустим, что к рукоятке C колеса, насаженного на ось OZ, при-

о

ложена сила

F , постоянно направленная перпендикулярно CO

r

п

(рис. 10.8). При вращении колеса точка приложения силы F пере-

мещается

кружности и элементарная работа этой силы

е

dW

F dS .

Р

Но

так

как dS rdφ ,

то

dW

F r dφ ,

где произведение

F r

M z

называется вращающим моментом.

Следовательно,

при вращении тела элементарная работа

dW

M z dφ.

У

При повороте колеса на угол φ

φ2

φ1

работа

Т

φ

Н

W

M z dφ.

Б

φ0

й

Если при этом вращающий момент M z

const , то

и

W

M z φ

Разделив обе час и э

равенства на t

t2

t1

(время действия

(работа при вращении тела

авна п о зведению вращающего мо-

мента на угол поворота).

го

т

t

и t

вращающего момен а), п лучим его мощность:

φз

W

φ

о

P

M z

,

п

ω:

или, так как

t

е

P

M z

ω

(10.3)

Р

Трением качения называется сопротивление,

возникающее при

У

перекатывании одного тела по поверхности другого. Тело 1 и каток 2

Т

(рис. 10.9) абсолютно недеформируемые. Малая сила F вместе с си-

лой трения Rf

, приложенной к катку в точке K, образуют пару (F ,

Н

Rf ), под действием которой каток начинает катиться (рис. 10.9, а).

Б

й

и

р

а

о

в

т

. 10.9. Раб а сил при качении тела

На самом деле абсолю но недеформируемых тел нет (рис. 10.9, б).

При перекатыван катка с лой F деформация смещается вперед по

направлению каченияРисместо приложения полной реакции

опор-

R

ной

стизтакже смещается несколько вперед на длину fk от-

носительно те ретической точки касания K и отклоняется от нормали

B

о

на н большой угол (рис. 10.9, в).

n

поверхн

При качении катка на него действуют четыре силы, образующие

) с моментом F r и пару

пары сил: движущую пару ( F ,

R

f

две

сопротивления качению ( G , Rn ) с моментом Rn fk . Момент пары

Р

мер, для трения мягкой стали по стали

fk = 0,005 см, а для трения

закаленной стали по стали (подшипники качения)

fk = 0,001 см.

Качение катка 2 начинается при условии

F

r

Rn fk .

У

Для перекатывания катка сила

Т

F

Rn fk

.

Н

r

ГЛАВА 11. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

й

11.1. Импульс силы. Количество движенияБ .

Кинетическая энерг я

р

Любое взаимодействие тел, п

водящее к какому-либо измене-

ора

нию движения, длится некото ое ив емя. Векторная мера действия

т

силы F dt , равная произведению силы на элементарный промежу-

ток времени ее дейс вия, называется элементарным импульсом

силы. Направлен е век

импульса

совпадает с

направлением

вектора силы. Един ца мпульса в СИ – Н ∙ с:

и

м

кг м

1 Н с 1 кг

с 1

.

с2

с

з

Векторнаяомера механического

движения точки m

, равная

произв д нию массы точки на ее скорость в данный момент време-

п

ни, называется количеством движения. Направление вектора ко-

личества движения совпадает с направлением вектора скорости.

Единица количества движения в СИ –

кг м

. Как видим, единицы

Р

с

Скалярная мера механического движения точки

m

2

, равная

2

половине произведения массы точки на квадрат ее скорости, назы-

вается кинетической энергией. Единица кинетической энергии –

джоуль (Дж):

У

кг м

кг м2

1 Дж 1 Н м

1

м

1

.

с2

с2

Т

11.2. Теорема об изменении количества движения точки

Н

Пусть на точку массой m действует система постоянных сил, рав-

нодействующая которых F

Б

согласно основному закону динамики

2

й

1

F

ma,

и

F

t

ma

t,

р

так как a

, то F

t

m

m

(11.1)

2

1

t

получим

т

(изменение количества движения т чки равно импульсу всех сил).

Спроецировав на оси

к

рдинат обе части векторного равен-

и

ства (11.1), в общем случае

:

а) систему трех скалярных уравнений:

о

F x

t

m

2 x

m 1x ;

п

зF y

t m

2 y

m 1y ;

если

F z

t

m

2 z

m 1z ,

Р

F x

Fkx ; F y

Fky ; F z

Fkz ;

где

б)

силы, действующие на точку, лежат в одной плоскости,

прямой. Тогда

У

F

ma

;

Т

F

S

ma

S .

Н

На прямолинейном пути

ср

Б

a

2

1

и S

t

2

1

t

;

t

2

и

2

2

m

F S

2

1

m

2

1

t

2

1

.

t

р

й

2

2

чтоW m

22

m 12

,

Wk

Отсюда с учетом того,

F

S

W

,

т

и

k

з

2

2

о

т. е. изменение кинетической энергии точки равно сумме работ дей-

ствующих сил.

п

е

11.4. Понятие о механической системе

Совокупность материальных точек, связанных между собой си-

лами взаимодействия,

называется

механической системой

(рис. 11.1). Например, механическую систему образуют Земля и

РЛуна или спортивный самолет и буксируемый им планер.

F12

F21

F23

F32