МЕХАНИКА (1)

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки

по которой определяется уравнением S

0,5t

S

м, t

с . Тогда

в момент времени t0

0

S0

0 , т. е. точка находится в начале от-

счета O; в момент времени t1

1 c

точка находится на расстоянии

S

0,5t

2

0,5 12

0,5 м ; в момент времени

t

2 c

У

1

1

2

Т

дится на расстоянии S

2

0,5t

2

0,5 22

2 м

от начала отсчета O.

2

Координатный способ задания движения точки. Когда траек-

Н

тория точки заранее не известна, положение точки в пространстве

определяется тремя координатами: абсциссой X, ординатой Y и ап-

Б

пликатой Z (рис. 6.6): X

f1 (t); Y

f2 (t); Z

f3

(t) или, исключив

время, Ф(X ,Y, Z) 0 .

й

и

р

о

т

и

е

з

оРис. 6.6. Координатный способ задания движения точки

Р

Этипуравнения выражают закон движения точки в прямо-

угольной системе координат (OXYZ).

В частном случае, если точка движется в плоскости, закон дви-

жения точки выражается двумя уравнениями:

X

f1 (t); Y f2 (t)

или Ф(X ,Y )

0 .

Пример 6.1. Движение точки в плоской системе координат зада-

но уравнениями X

2t и Y

3t (X и Y – см, t – с) (рис. 6.7). Тогда

в момент времени t0

0 X0

0 и Y0

0 , т. е.

точка находится в

начале координат; в момент времени

t1

1 c

координаты точки

X1

2t1

1

2 см , Y1

3t1

3 1

3 см ; в момент времени t2 2 с

координаты точки X2

2t2

2 2

4 см ,Y2

3t2

3 2

6 см и т. д.

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

з

Р с. 6.7. К примеру 6.1

Зная закон дв жен я точки в прямоугольной системе координат,

можно

пределитьиуравнение траектории точки.

Например

, исключив время t

из

заданных

выше уравнений

X

2t

и Y

3t , получим уравнение траектории 3x

2y 0 . Как

видим,

в

этомслучае точка движется по прямой, проходящей через

начало координат.

Р

е

6.3. Определение скорости точки

при естественном способе задания ее движения

Пусть движение точки А по заданной траектории происходит со-

гласно уравнению S

f (t) , требуется определить скорость точки в

Т

Рис. 6.8. Дуговая координата движения точки:

У

t

положение точки А;

Н

t

t положение точки А1;

За время точка

t проходит путь L

S S1 S.

t

S

,

Б

За промежуток времени

точка прошла путь L

S S1 S ,

значение средней скорости на этом пути

й

ср

ости

t

но оно отличается от значения ско

в момент времени t. Ско-

о

рость в заданный момент t

рS dS

точки

lim

t

dt

f

(t) ,

t

0

т. е. значение скорости

, движение которой задано естествен-

ным способом, в любой момент времени равно первой производной

от расст яния (дугивой координаты) по времени.

п

Направлениезск рости, как отмечалось выше, известно заранее.

Вектор

a – ускорение точки в данный момент (рис. 6.9, а) – есть

о6.4. Определение ускорения точки

Р

ри естественном способе задания ее движения

геометрическая сумма касательного a

и нормального an

ускорений:

a

a

an .

У

Т

Рис. 6.9. Нормальное (а) и касательное (б) ускорения точки

Н

Вектор a в любой момент времени направлен по касательной

d

Б

(рис. 6.9, б), поэтому вектор a называется касательным, или тан-

генциальным ускорением. Модуль касательного ускорения

й

a

и

dt

р

равный производной от ско

в данный момент по времени или,

ости

иначе, второй производн й

т

асстояния по времени, характеризу-

т

ет быстроту изменения значения скорости.

Доказано, что век ор an

в люб й момент времени перпендикуля-

и

рен касательной, поэ ому он называется нормальным ускорением:

з

2

п

an

.

ρ

е

нормального ускорения пропорционален второй

Значитмодуль,

ст ни модуля скорости в данный момент, обратно пропорциона-

Р

а направление a (угол

(a,V ) ) находим с помощью тригономет-

рических функций по одной из следующих формул:

sin

an

;

У

an

a

cos

at

;

a

Н

tg

.

Т

at

Б

и a

Если векторы

направлены в одну и ту же сторону, то

й

движение точки называется ускоренным. При этом значения

и

a имеют одинаковые знаки (

0, a

0 или

0, a

0 ). Если

же векторы

и a

направлены в прот воположные стороны,

то

р

движение точки называется замедленным. В этом случае знаки

и

a разные (

0, a

0

о

0,иa 0 ).

или

6.5. Час ные случаи движения точки

и

з

an

0 ,

то точка движется

1. Прямолинейноетдв жение. Если

о

2

прямолинейно, так как при an

направление скорости остается

неизменным.

е

При

a

0,

const

уравнение

2. Равномерное

движение.

Р

равномпрного движения

S

S0

t .

При начальном расстоянии

S0 0 , т. е.

точка в момент начала

движения находится в начале отсчета расстояний, уравнение рав-

номерного движения упрощается: S

t .

Если a 0 и an

0 , то движение точки называется равномер-

ным прямолинейным. Если a

0 и an

0 , то точка движется рав-

номерно по криволинейной траектории.

Равномерное движение точки по окружности

У

0

2

Т

При таком движении (рис. 6.10)

a

0 и

an

const , так

ρ

const ,

Н

как при равномерном движении

а при движении по

окружности ρ r const . Из формулы

S

S

t скорость рав-

номерного движения по окружности

Б

S

S0

й

.

t

и

р

о

т

и

п

з

0

е

Р

оРис. 6.10. Равномерное движение точки по окружности

Если принять t = Т – периоду, т. е. времени одного обхода точ-

кой окружности, то S

S 2πr и

2πr

πd

или

,

T

T

3. Равнопеременное движение. Если

a

d

const ,

то дви-

dt

жение точки называется равнопеременным.

Уравнение равнопеременного движения точки

S

S0

0t

a t2

.

У

2

0

a t – скорость в любой момент времени.

Т

a 0 и a

a2

a2

a2

a .

Б

n

n

1

А. При равнопеременном прямолинейном движенииН, если не из-

0

й

вестно время t, получим первую вспомогательную формулу

и

2

2

р

0 .

S

S

2a

о0

т

Если не известно a

:

и

0

t

S

S

2

,

о

где

0

– средняя скорость точки при ее равномерном

ср

2

з

движении.

Б. Если равн ускоренное движение точки начинается из начала

е

0 ), то

отсч та траектории (S0 = 0) и без начальной скорости ( 0

пр дыдущиепформулы приобретают более простой вид:

Р

a t;

a t2

S

;

2

2

S

;

2a

S

t

.

2

У

2

Примерами такого движения могут служить движение автомоби-

ля при трогании с места или движение самолета на взлетной полосе,

а также известное из физики свободное падение тел.

Н

В. При свободном падении a

a

g

9,81 м с

. В этом слу-

чае, если в формулах из пункта (Б) S заменить высотой Тпадения Н,

то формулы примут вид

Б

2

й

gt;

gt

2

H

;

и

2

рt

H

;

о

2g

т

H

.

и

2

з

эт х

формул,

представленная в

виде

Предпоследняя

о

2gH , на ывается формулой Галилея.

п

е

ГЛАВА 7. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

7.1. Поступательное движение

Движение твердого тела, при котором любой выбранный в теле

Ротрезок прямой перемещается, оставаясь параллельным своему пер-

воначальному положению, называется поступательным.

Рассмотрим две

точки А

и

В, соединенные

отрезком

АВ

жутся по одинаковым траекториям, т. е. если траекторию

BB1B2

совместить с траекторией

AA1 A2 ,

то они совпадут. Если вместе с

точкой A рассмотреть движение точки C, то при движении тела от-

резок АС также остается параллельным своему первоначальному

( AC || A1C1 ||

A2C2 )

У

положению

и

траектория

точки

C

(кривая

CC1C2 ) одинакова с траекториями AA1 A2 и BB1B2 :

Т

C , или

C1 , или A2

Н

;

A

B

A1

B1

B2

C 2

aA aB

aC , или aA1

Б

aB1

aC1 , или aA2

aB2

aC 2 .

й