МЕХАНИКА (1)

нормальными напряжениями от изгиба.

Т

На рис. 19.16, а показан вал, на который насажены зубчатое коле-

со диаметром d1

и шкив ременной передачи диаметром d2 . НаУзуб-

чатое колесо действуют окружная

Ft

и радиальная

Fr силы, на

шкив – силы F1

и F2

Б

натяжения ветвей ремня. Для составления рас-

четной схемы вала (рис. 19.16, б) все силы должны бытьНприведены к

й

его оси. При переносе силы Ft к оси вала добавляется скручивающая

пара с моментом M1

Ft (d1 2)

рис

(

. 19.17, а); аналогично при при-

F1

F2

р

ведении сил

и

получается скруч вающая пара с моментом

о

M

F (d

2)

F (d

2) (F

F )(d2

2

) (рис. 19.17, б).

2

1

2

2

2

1

2

т

и

з

о

п

е

Р

а

У

Т

Н

Б

б

й

и

р

о

т

и

з

о

Р с. 19.16. Изгиб с кручением вала

п

е

Р

У

б

Т

Н

Б

й

и

Рис. 19.17. Перенос с л к оси вала

При равномерном вращении вала (только такой случай и рас-

M1

M2

что

сматривается)

,

следует из основного уравнения ди-

т

намики для вращательн го движенияр.

и

На основе

расче ной

схемы пределяют опорные реакции и

строят эпюры

M z

, M x

M y , по которым определяют опасное се-

чение вала.

з

о

Mи

2

2

пz

M x

M y .

и

Для вала, диаметр которого по всей длине постоянен, опасным

случае

буд т ч ние, в котором одновременно возникают наибольшие

Р

M

M

крутящий

и изгибающий

моменты. В рассматриваемом

σ

экв

σ2

4τ2

,

подставляя в нее значения σ и τ , получаем

σ

экв

M

и

W

2

4(M

z

W

p

)2 .

и

Учитывая, что для круглого (сплошного или кольцевого) сечения

Wp 2Wи , имеем

У

2

2

M 2

M 2

Т

σэкв

Mи Wи

(M z Wи )

И

Z

Wи

.

Н

Внешне эта формула аналогична

зависимости для опре-

деления максимальных нормальных напряженийБпри изгибе, поэтому

величину, стоящую в числителе, называют эквивалентным (или при-

веденным) моментом, при этом услов е прочности имеет вид

расчетной

M экви

σэкв

σ .

Wи

р

Расчет бруса круглогоопоперечного сечения на изгиб с кру-

чением ведется аналог чно расчету на изгиб, но вместо изгибающе-

т

го момента в расчетную формулу входит так называемый эквива-

лентный м менти, который зависит от изгибающих и крутящего

момент в, а также от принятой гипотезы прочности. По гипотезе

з

наибольших касательных напряжений,

о

M

M 2

M 2

M 2

M 2

M 2 .

пэкв

и

Z

x

y

z

е

При проектном расчете определяют требуемое значение момента

сопротивления поперечного сечения:

Р

Wи

Mэкв

σ .

Учитывая, что для сплошного круглого сечения W

πd 3

0,1d 3 ,

и

32

d 3

32M экв

3

Mэкв

.

π σ

0,1 σ

кручением бруса некруглого поперечного сечения.

еприменимо

оно и в случае, если помимо изгиба и кручения брус круглогоТсе-

чения испытывает растяжение или сжатие.

Для бруса с постоянным диаметром опасная точка находится в

Н

сечении, для которого эквивалентный момент имеет наибольшее

значение. Это сечение также называют опаснымБ. Для отыскания

опасного сечения иногда помимо эпюр

M x

,

M y , M z

строят эпю-

ру M и , а затем эпюру M экв . П акт

й

в этом нет необходимо-

сти; в случае, если по эпюрам

чески

положение опасного

M x

, M y , M z

р

M экв для нескольких

сечения определить нельзя, пр ще вычислить

сечений, чем стро ть эпюрыоM и

M

экв

.

т

и

ГЛАВА 20. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ

и

ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

з

20.1. П нятие о критической силе для сжатого стержня.

о

Формула Эйлера

п

Из физики известно, что равновесие тела устойчиво, если при

маломеотклонении от равновесного положения возникает сила или

пара сил, возвращающая его в положение равновесия. Кроме устой-

Рчивого известны также неустойчивое и безразличное равновесия, но

Н

стержня в сторону, то под действием упругих сил стержень,Упоко-

лебавшись около положения равновесия, снова примет прямоли-

нейную форму. Постепенно увеличивая сжимающую нагрузкуТпу-

тем установки более тяжелых шаров (рис. 20.1, б), увидим, что

стержень хотя и сохраняет прямолинейную форму, но при откло-

й

нении от положения равновесия возвращается в исходное положе-

ние гораздо

медленнее. Наконец,

некоторойБнагрузке G3

при

(рис. 20.1, в)

стержень изогнется,

прямолинейная форма устой-

р

чивого равновесия переходит в новую, криволинейную форму

устойчивого равновесия.

о

т

в

а

и

б

з

о

п

е

Р

Рис. 20.1. Потеря устойчивости

устойчивость

прямолинейной формы

и обладал при

этом не-

которым запасом устойчивости (рис. 20.2):

У

S

Fкр

.

Т

F

Н

Б

й

и

р

го

Рис. 20.2. К пределению запаса устойчивости

и

Условие устойчивос сжа

стержня

тFкр

Sy

по

Sy

F

,

где Sy – к

зэффициент запаса устойчивости.

До ускаемая сжимающая сила

е

Sy

F

Fкр

.

Р

Задачу определения критической силы впервые чисто матема-

тически решил Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

F

π2 E I

min

,

(20.1)

кр

μ l 2

l – длина стержня;

μ – коэффициент приведения длины, т. е. число, показывающее,

У

во сколько раз следует увеличить длину шарнирно закрепленного с

обоих концов стержня, чтобы критическая сила для него была равна

Т

критической силе стержня в данных условиях закрепления.

Экспериментальные исследования, связанные с проверкой фор-

Н

мулы Эйлера, показывают, что при прочих равных условиях (оди-

наковые материал, форма и размеры поперечного сечения, а также

Б

длина стержня) значение критической силы зависит от способа за-

крепления его концов.

й

а

б

и

в

р

о

т

и

г

з

д

о

е

п

е

Р

возникают нормальные напряжен я сжат я,

которые возрастают по

мере увеличения нагрузки. Нормальные напряжения, соответству-

ющие критической силе, называются к

й

т ческими:

и

σкрFкр .

о

A

После подстановки значения критической силы из формулы

(20.1) получим

т

и

σ

π2 E Imin

.

(20.2)

з

кр

(μl)2 A

Линейную

величину

I

min

A i

называют

минимальным

о

min

радиусом инерции сечения.

п

Таким образом, Imin A i2

и формула (20.2) принимает вид

е

min

Р

σкр

π2 E i2

π2 E

π2 E

min

или

σкр

.

(μl)2

(μl i

)2

λ2

min

Безразмерная величина

μ l

λ называется гибкостью стерж-

imin

смотрения упругой линии изогнутого стержня, поэтому формула

У

π2 E

Т

σкр

λ2

Н

справедлива только в пределах применимости закона Гука, иначе

говоря, до тех пор,

пока критическое напряжение не превышает

Б

предела пропорциональности материала стержня, т. е. при условии

π2 E

й

σкр

σпц .

λ

2

Отсюда

и

р

λ

π

E

.

о

σпц

Стоящая в правой

т

неравенства постоянная для данного ма-

териала безра мерная величина называется предельной гибкостью:

части

з

о

λпред

π

E

.

σпц

п

Эйлера определяется условием

Прим нимость формулы

λ λ .

пред

Р