МЕХАНИКА (1)

Sабс

Sпер

Sотн .

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

этого

части

Рис. 8.1. К анализу сл жного движения точки

з

Разделим обе

равенства на время движения

t:

о

Sабс

Sпер

Sотн

п

е

t

t

t

и получим геометрическую сумму средних скоростей:

пер.ср

отн.ср ,

абс.ср

Ркоторые направлены вдоль соответствующих векторов перемеще-

ний. Если теперь

перейти к

пределам при t 0 , то

получим

lim

lim

lim

отн.ср ,

абс.ср

пер.ср

t 0

t 0

t 0

отн ,

абс

пер

выражающее теорему сложения скоростей: при сложном движе-

нии точки абсолютная скорость в каждый момент времени равна

Т

геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Н

Если задан угол ( пер ,

отн ) , то модуль абсолютной скоростиУ

2

2

Б

абс

пер

отн

2 пер

отн cos α.

Углы, образуемые векторами абсолютной скорости

с век-

абс

при

торами

пер

и

отн , определяются по теореме синусов.

В частном случае при

р

йсложении этих скоростей

пер

отн

образуется

ромб (рис. 8.2, а)

или

авнобедренный

треугольник

(рис. 8.2, б) и, следовательно,

т

и

о2 cos

2

cos .

абс

пер

2

отн

2

з

о

п

е

Р

а

б

называется плоскопараллельным (рис. 8.3).

У

Т

Н

Б

й

и

Рис. 8.3. Плоскопараллельное дв жен е твердого тела

о

Изучая плоскопараллельн е движение тела М, достаточно рас-

т

сматривать движение его плрск го сечения q плоскости ХОY

(рис. 8.4).

и

з

о

п

е

Р

У

Т

Н

Б

й

и

р

Рис. 8.5. К п

ме у 8.1

о

т

сти любой точки тела

8.3. Определение ск

при плоск параллельном движении

0 . Требуется пределить скорость какой-либо точки А (рис. 8.6).

Пусть дано плоское сечение q, угловая скорость и скорость по-

люса которого в некоторый момент времени соответственно ω и

вм с с олюсом (переносное движение) все точки сечения, и точ-

п

0

Расчленимзпл скопараллельное движение на составные части –

поступательную и вращательную. При поступательном движении

те

Р

AO

ω AO ,

где AO – относительная скорость точки A ( AO AO ).

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

Рис. 8.6. К определению ск р сти тела п и плоскопараллельном движении

Следовательно, в каждый данный момент времени

и

з

тA

O

AO ,

этой

т. е. абс лютная скорость точки тела при плоскопараллельном дви-

п

жении равна ге метрической сумме скорости полюса и относитель-

ной скорости

точки вокруг полюса.

Модуль абсолютной скорости может быть определен по формуле

е

2

2

2 пер отн cos ,

абс

пер

отн

Ра направление – с помощью теоремы синусов. Если же направление

Допустим, что известны скорости

и

точек A и В какого-

A

B

либо тела (рис. 8.7). Приняв за полюс точку A, получим

BA .

B

A

У

Т

Н

Б

й

и

р

Рис. 8.7. Векторы ско остей точек плоской фигуры

о

Относительная скор

пе пендикулярна АВ. Следователь-

сть

BA

но, AA1

BB1 или

A cos α

B cosβ . Теорема доказана.

и

з

о

ГЛАВА 9. ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ

е

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

п9.1. Основные понятия и аксиомы динамики

Динамика изучает движение материальных тел под действием

сил. В основе динамики лежат следующие аксиомы.

РАксиома 1 (принцип инерции). Всякая изолированная матери-

У

Т

Н

Б

Рис. 9.1. К основному закону динамики

й

Математически вторая аксиома записывается векторным равен-

ством

и

F

ma ,

пропо

где m – коэффициент

циональности, выражающий меру

инертности материальн й т чки и называемый ее массой.

В Международной сис емерединиц (СИ) масса выражается в ки-

лограммах.

и

Зависимость между ч словыми значениями (модулями) сил и

з

ускорения выражаетсятравенством

о

F

ma .

п

На все материальные тела вблизи Земли действует сила тяжести

уравнения следует зависимость:

G. При свободном падении на Землю телá любой массы приобрета-

ют одно и то же ускорение g, которое называется ускорением сво-

бодного падения. Для свободно падающего тела из предыдущего

Р

G ma .

Таким образом, при одновременном действии на материальную

точку массой m, например, четырех сил, ускорение а, полученное

У

точкой,

можно определить

геометрически сложив ускорения

Т

a1, a2 , a3

и a4 , возникающие под действием каждой силы в отдель-

ности (рис. 9.2). В то же время ускорение a

пропорционально рав-

Н

нодействующей F тех же сил:

F

ma,

й

где F

Fk и a

ak .

и

Б

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 9.2. К закону независимости действия сил

сложные фигуры высшего пилотажа.

Н

У

Задачи динамики сводятся к двум основным:

1) задается закон движения точки, требуется определить дейст-

вующую на нее силу или систему сил (первая задача динамикиТ);

2) задается система сил, действующая на точку, требуется оп-

ределить закон движения (вторая задача динамики).

Обе задачи динамики решаются с помощью основного закона

Б

динамики, записанного в форме F

ma

или F

ma .

и

Материальная точка, свобода перемещения которой ограничена

р

наложенными связями, называется несвободнойй

. Примером несво-

бодной материальной точки может служ ть движущийся по рель-

сам трамвай, если пренебречь

фо мой и размерами. Для несво-

т

бодной материальной

чки все внешние силы необходимо делить

на две категории: ак ивные (движущие) силы и реакции связи (пас-

дится

сивные силы). В связи

эегом первая задача динамики несвободной

з

точки сводится к определению реакций связей, если заданы законы

движения

действующие на нее активные силы. Вторая за-

точки

дача динамики св

к тому, чтобы,

зная действующие на точку

п

активные силы, пределить, во-первых, закон движения точки и, во-

вторых, реакции связей.