МЕХАНИКА (1)

σ

σпред

.

n

У

В случае,

если предельные, а следовательно, и допускаемые

Т

напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают со-

ответственно

σр

и σс .

Н

Б

Это неравенство, так же как и неравенства (18.2) и (18.3), назы-

вают условием прочности.

Будут встречаться три упоминавш есяйуже категории напряжений.

1. Предельные (или опасные) нап яжен я, при достижении ко-

и

торых появляются признаки неп с едственного разрушения или

возникают пластические деф

.

Эти напряжения

рмации

св йств материалов и вида дефор-

мации, например, для серогоочугуна предельное напряжение (пре-

дел текучести) при сжат

σ

примерно в четыре раза выше пре-

зависятпч.с

дельного напряжения

растяжении σпч.р

при

2. Допускаемые напряжения – наибольшие напряжения, кото-

з

рые можно д устить в рассчитываемой конструкции из условий ее

аснойо, надежной и долговечной работы.

Эти на ряжения зависят от свойств материала, вида деформации

п

или

заданного) коэффициента запаса

и тр бу мого (принятого

У

Т

Условие прочности при растяжении–сжатии записывается в виде

σ

σ или n

σпред.

n .

Н

σ

Б

Под σ следует понимать наибольшее расчетное напряжение.

Незначительное превышение наибольших расчетных напряже-

й

ний над допускаемыми, конечно, не опасно, так как допускаемое

напряжение составляет

лишь некоторую

часть от предельного,

В зависимости от цели расчета (постановки задачи) различают

три вида расчетов на прочность:

и

1) проверочный;

нагрузки

2) проектный;

о

т

.

3) определение допускаем й

1. При проверочном расчете нагрузка бруса, его материал (а

следовательно, допускаемое

σ

или предельное напряжение σпред )

з

и размеры и вестны. Определению подлежит наибольшее расчетное

напряжение, к т

ирое сравнивают с допускаемым. С проверочными

п

N

расчетами встречаются при экспертизе выполненных проектов.

Расчетная ф рмула (условие прочности при растяжении или

е

сжатии) имеетовид

σ

σ ,

A

где σ – напряжение, возникающее в опасном поперечном сечении

Рбруса (опасным называют сечение, для которого коэффициент запа-

n

σпред

n .

У

σ

2. При проектном расчете нагрузки и материал (допускаемые

Т

напряжения) известны, и в этом случае определяют требуемую

площадь сечения бруса А.

Н

3. В некоторых случаях проверочный расчет удобнее вести в

форме определения допускаемой нагрузки.

Это целесообразно,

когда возникает необходимость в

Б

нагрузок существую-

щего оборудования и, следовательно, надо знать их предельно до-

пускаемое по условию прочности знач й.

При этом расчете разме ы

б уса

его материал (допускаемое

напряжение) известны,

повышении

нагрузка, которую

пределению

подлежит

можно допустить по усл вию

чности. Определяют допускаемое

значение продольной

пр

[N]. По этому значению с помощью метода

сечений определяют допускаемое значение внешних сил – нагрузок.

его

т

19.2. Особенности расчета статически

силы

не пределимых стержневых систем

з

Если внутренние силы определялись только на основе условий

о

равнов сия отсеченной части системы (или отдельного бруса), си-

ст мыпназывают статически определимыми.

Сист мы, в которых внутренние силовые факторы (ВСФ), в ча-

е

стности продольные силы, не могут быть определены с помощью

только метода сечений, называют статически неопределимыми

Рсистемами. Соответственно задачи, связанные с расчетом указан-

ных систем, также принято называть статически неопределимыми.

неизвестных же сил – две.

У

Т

Н

Б

Рис. 19.1. Статически неопределимая система

и

Для решения статически неопределимой задачи помимо уравне-

ний статики надо составить так называемые уравнения перемеще-

р

ний, основанные на рассмотрен

деформациий

системы (это гео-

метрическая сторона задачи) и п

менен закона Гука.

о

Пусть невесомая, весьма жесткая балка, нагруженная силой F,

имеют

подвешена на стержнях (рис. 19.2). Стержни изготовлены из одина-

кового материала

динак вые сечения. Система один раз

и

статически неопредел ма: для плоской системы параллельных сил

незав

статика дает два

с

мых уравнения равновесия, а неизвестных

сил – три. Обо нач м реакции, так же, как и силы, действующие на

о

стержни, через N1, N2, N3.

п

е

Р

Y 0; N1

N2

N3

F

0;

(19.1)

M В

0; N1 a

N3

a

0.

N3

У

Т

Н

Б

й

и

с стемы

Рис. 19.3. Схема деформац

р

В результате деформации сте жней балка займет положение, по-

казанное на рис. 19.3

штрих выми линиями. Действительно, пред-

жестк

положение о высокой

сти балки позволяет пренебречь ее из-

гибом, а симметрия сам й системы

и нагрузки приводит к заклю-

ержни

чению, что все ст

оудлиняются одинаково. Таким образом,

з

геометрическая сторона задачи может быть выражена уравнением

п

l1

l2

l3.

Выражая удлинения стержней по формуле Гука, получим

е

о

N1l

N2l

N3l

,

E A

E A E A

откуда

N1

N2

N3 .

(19.2)

РРешая совместно уравнения (19.1) и (19.2), находим силы в стержнях:

N

N

N

F

.

2

3

1

3

речные силы не возникают, изгиб называют чистым.

Т

Плоскость, проходящую через продольную ось бруса (OZ) и од-

Н

ну из главных центральных осей его поперечного сеченияУ(OY),

называют главной плоскостью бруса (рис. 19.4).

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 19.4. Схема нагружения бруса при прямом поперечном изгибе

У

Т

Н

Б

Рис. 19.5. Силовые факторы при изгибе

й

Границей между областями растяжения и сжатия является слой во-

и

локон, который лишь искривляется, не испытывая при этом ни растя-

жения, ни сжатия. Это так называемый не тральный слой. Линия пе-

ресечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения бруса

осью

называется нейтральной

или нулевой линией (см. рис. 19.4).

Брусья, работающие на п ям й изгиб, принято называть балка-

т

ратически определимых балок показа-

ми. Схемы основных

ип в с

консолями

ны на рис. 19.6: а – прос ая к нс ль; б – двухопорная балка без кон-

солей; в – двухопорная балка с одной консолью; г – двухопорная

балка с двумя

. Расстояние между опорами балки назы-

пролетом

вают

, а

дл ну балки, защемленной одним концом

(рис. 19.9, а), ин гда называют вылетом. Консолью называют часть

а

расп

балки,

лзженную по одну сторону от опор (рис. 19.9, в, г).

е

в

Р

б

г

Рассмотрим двухопорную балку (рис. 9.7). Считаем, что опорные

реакции известны.

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

Рис. 19.7. К определению внутренних силовых факторов

о

в сечении изгибаемой балки

Определяем реакции в опорах:

п

е

Y

0; RA

qz

Qy

0,

откуда

Р

Qy

RA

qz;

M

0; R z

qz

z

M

0,

k

x

A

2

откуда

M

R z

qz

z

.

x

A

2

Н

При построении эпюр удобнее устанавливать знаки Qy и УMx по

внешним силам.

Внешняя сила, стремящаяся повернуть отсеченную частьТбалки

по часовой стрелке вокруг той точки оси, которая соответствует

проведенному сечению, вызывает положительную поперечную силу

(рис. 19.8, а).

й

Внешняя сила (момент), изгибающая этуБчасть выпуклостью

и

вниз, т. е. таким образом, что сжатые волокна находятся сверху, да-

р

ет положительный изгибающий момент (р с. 19.8, б).

о

т

и

з

о

а

п

е

Р

б

Qy

τzy dA;

У

A

M x

σz ydA.

Т

A

Расчет балок из пластичных материалов. ПрочностьНбалки из

пластичного материала обеспечена, если наибольшие по абсолют-

ному значению нормальные напряжения, возникающиеБ

в опасном

поперечном сечении, не превышают допускаемых. Для балки, попе-

речные размеры которой по всей дл не постоянны (пока только та-

й

кими балками и ограничимся), опасное сечение – то, в котором

возникает наибольший по м дулю изгибающий момент.

р

Наибольшие нормальные нап яжения возникают в точках опас-

ного поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной

оси. Будем называ ь э

очки опасными. Ymax –

расстояние от

опасной точки до нейтральнойт

оси. Тогда получим условие проч-

ности в виде

и

M x max

з

σmax

ymax σ ,

(19.3)

о

Ix

σmax

– максимальное нормальное напряжение;

п

M x max

– максимальный изгибающий момент;

где

Ix – момент инерции относительно оси ОХ – осевой момент

инерции;

Р

σ – допускаемое напряжение, принимаемое при статическом