МЕХАНИКА (1)

y

h

, где h – высота сечения (размер в направлении, перпен-

max

2

дикулярном нейтральной оси), следовательно

У

M x max

h

σmax

Ix

2

.

Н

Разделим числитель и знаменатель этого выражения

h

:

Б

2

σ

M x max

.

max

h

й

J x

Ix

2

Введем обозначение

и

р

Wx

h 12

т Wx

и получим окончательн е усл вие прочности в следующем виде:

M

оx max

σ ,

о

σmax

где Wx

–

сев й мимент сопротивления, или момент сопротивления

п

з

при изгибе.

Момент с пр тивления – это геометрическая характеристика

прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Действительно,

ч м больше момент сопротивления, тем меньше напряжения, воз-

ника

в поперечном сечении балки при данной нагрузке.

Wx

I

x

πd 4 64

d 2

d 2

или

W

πd 3

0,1d 3 ;

У

x

32

б) кольцо (рис. 19.9)

Н

Wx

I

x

(πd 4

64)(1

C4 )

Т

d 2

d 2

Б

или

3

й

πd

W

(1

C4 )

0,1d 3

(1 C4 );

x

32

и

р

о

т

и

з

о

п

Рис. 11.9. К ределению геометрических характеристик круглого сечения

Р

в) прямоугольник

е

Wx

Ix

(bh4 ) 12

h 2

h 2

то же самое, чтобы ось, относительно которой момент инерции

У

максимален, была нейтральной осью сечения. Более кратко это

Т

можно сформулировать так: следует стремиться к тому, чтобы из-

гиб бруса происходил в плоскости его наибольшей жесткости.

Н

19.5. Расчеты на жесткость при изгибе

В ряде случаев работающие на изгиб элементы машиност-

роительных и строительных конструкций должны быть рассчитаны

й

не только на прочность, но и на жесткость. К деталям, рассчиты-

ваемым на жесткость, относятся, в частности,Бвалы зубчатых и чер-

их

вячных передач и многие части металлорежущих станков.

р

Расчет на жесткость элемента конструкции, имеющего форму

бруса, заключается в определен

на больших перемещений его

ко

поперечных сечений и сопоставлении

с допускаемыми, завися-

щими от назначения и усл вий эксплуатации данного элемента.

т

Рассмотрим прос ую к нс ль,

нагруженную на свободном конце

вия

силой F, линия дейс

орой совпадает с одной из главных осей

поперечного сечен я балки (рис. 19.10).

з

о

п

е

Р

ют изогнутой осью, или, чаще, упругой линией.

У

Угол поворота θ поперечного сечения равен углу между каса-

тельной к упругой линии в данной точке и осью недеформироТ

-

ванного бруса.

Вывод: ордината упругой линии и угол наклона касательной, про-

Н

веденной к ней в данной точке, полностью определяют линейное и

угловое перемещения соответствующего поперечногоБсечения балки.

В большинстве случаев услов е жесткости выражается нера-

венством

й

f

f ,

и

т. е. максимальный прогиб (ст ела п огиба f) не должен превышать

допускаемого

f

р

зависит от

. Значение

д пускаемого прогиба

о

назначения и услов й рабо ы рассчитываемой конструкции и ко-

леблется в широк х пределахт. Обычно допускаемую стрелу прогиба

указывают

в

долях

пролета (межопорного расстояния l) балки.

Например,

и

l / 400 , для

для ручных грузоподъемных кранов f

з

l / 700 ,

электрических

f

для

валов и шпинделей металло-

о

f

= (0,0005–0,0010) l.

р жущих станков

п

Для об спечения нормальной работы подшипников скольжения и

роликовых подшипников качения иногда ставится дополнительное

е

условие жесткости – ограничение угла поворота опорных сечений:

Р

θoп.max

θ .

Применяя метод сечений и рассматривая равновесие оставлен-

ной части (рис. 19.12), приходим к выводу, что внутренниеТсилы,

возникающие в поперечном сечении бруса, должны дать момент

(крутящий момент), уравновешивающий внешние моменты, при-

Н

ложенные к оставленной части.

Б

й

и

р

о

т

и

Рис. 19.12. Кручение вала

Рис. 19.11. Крутящие м менты вала

з

Итак, крутящий момент, возникающий в произвольном попереч-

о

ном ч нии бруса, численно равен алгебраической сумме скручи-

вающих моментов, приложенных к оставленной части.

п

При кручении бруса в его поперечных сечениях возникают толь-

косекасательные напряжения.

Для расчета на прочность, так же как и при растяжении (сжатии)

Рбруса, надо найти его опасное сечение. В случае, если размеры по-

ветствующий внешний момент направлен против часовой стрелки.

У

Б

Т

Рис. 19.13. Правило знаков для Mz

Н

и

19.7. Расчеты на прочность

жесткость при кручении

р

Прочность бруса, работающего найкручение, считают обеспе-

ченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в

о

его опасном сечении, не превышают допускаемых:

Конечно, не нач тельное (до 5–6 %) превышение расчетного

и

τmax

τk .

з

го

напряжения над допускаемым не опасно.

Эпюры касательных напряжений для круглого сплошного и

п

кольцев

еречных сечений показаны на рис. 19.14.

е

Р

r

У

τmax

M x

I p

,

Т

где I p

– полярный момент инерции.

Н

Введя обозначение Wp

I p

, получим следующее выражение

r

для максимального касательного напряжения:

й

τ

M z

.

Б

max

и

Wp

р

Величину W

, мм3, равную отношен ю полярного момента

прочности бруса круглогопоперечного сечения при кручении:

p

инерции сечения к его радиусу, называют полярным моментом со-

т

противления сечения. Его размерность – L3. Очевидно, полярный

момент сопротивления являе ся геометрической характеристикой

з

M z

формула

τ

τ

k

.

(19.4)

п

иmax

Wp

е

служит для проверочного расчета на прочность.

Эта

При

роектном расчете и

при определении

допускаемой на-

Р

πd 4

(1

C4 )

I p

Wp

32

;

r

d 2

W

p

(πd 3 16)(1

C4 )

0, 2d 3 (1 C4 );

У

и для круга

πd 4

I p

πd 3

32

Wp

;

r

d 2

Т

16

Wp

πd 3

0, 2d 3.

Н

16

Б

Для конструкционной углеродистой

обычно

τk

= 20–35 МПа.

Во многих случаях вал должен быть рассчитан не только на

прочность, но и на жесткость п

й

к учен .

Рассмотрим брус, жестко защемленный одним концом и нагру-

стали

женный

на

свободном

к нце

ск учивающим

моментом М

(рис. 19.15). При деформации брусаего поперечные сечения повер-

нутся на некоторые углы

о ношению к своему первоначальному

по

положению или,

что о же самое,

по отношению к неподвижному

т

сечению (заделке). Угол поворота будет тем больше, чем дальше

отстоит

от заделки. Так,

для произвольного сечения

сечение

I, отстоящего

т

аделки на расстоянии z, он равен φz , для сечения

з

II – φ

dφ . Здесь dφ – угол поворота сечения II

относительно I

z

данное

или угол закручивания элемента бруса длиной φz .

п

Вообще, угол поворота вала при включении произвольного сече-

ния

углу закручивания части бруса, заключенной между этим

равен

Р

φ0

θ

φ

.

У

l

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

Р с. 19.15. Деформации вала при кручении

о

Угол закручивания бруса постоянного диаметра при одинаковом

во всех перечных сечениях крутящем моменте равен

п

где

φ

M zl

,

Р

GI p

l – длина рассматриваемого участка, мм.

θ

M z

θ ,

GI p

У

p

где GI p – условная жесткость сечения круглого бруса при круче-

Т

нии. Модуль сдвига G характеризует жесткость материала, а поляр-

ный момент инерции I является геометрической характеристикой

жесткости бруса. Для стали G = 8 · 104 МПа.

Б

При проектном расчете отсюда определяют требуемое значение Ip:

I

M z

,

Н

p

G θ

й

и

а затем вычисляют диаметр вала. Из двух значений диаметра вала,

определенных из расчетов на п очность

жесткость, в качестве

ногоI πd 4

;

окончательного (исполнитель

азмера) должен быть, конечно,

принят больший.

т

р

Для круга

и d

p

32

о

4

32M z

.