МЕХАНИКА (1)

Т

Вместо построения силового многоугольника равнодействую-

щую системы сходящихся сил более точно и значительно быстрее

находят вычислением с помощью метода проекций, которыйУобыч-

но называется аналитическим.

Б

Проекцией вектора F на ось называется длина направленного

отрезка оси, заключенного между двумя перпендикулярами, опу-

Нсилы на ось рав-

щенными из начала и конца вектора F . Проекция

й

на произведению модуля этой силы на косинус угла между направ-

и

лением силы и положительным направлением оси (рис. 2.4):

Fx

F cos α

о

т

р

Fx

F cos α

и

з

о

п

е

F1x

F1 cos β

Р

Рис. 2.4. Проекции векторов сил на оси

ассмотрим определение равнодействующей системы сходящих-

ся сил методом проекций.

Допустим, что для заданной системы сходящихся сил построен

многоугольник ABCDE, в котором вектор

AE

F

– искомая рав-

нодействующая данной системы.

У

Т

Н

Б

й

и

р

его

Рис. 2.5. Многоугольн к сил

Выбрав систему координатных осей X и Y в плоскости силового

многоугольника, спроецируем

на эти оси:

и

F

F

F

F

F

;

тx 1x 2 x 3x 4 x

о

п

F

F

F

F

F

.

з y

1y

2 y

3 y

4 y

В краткой форме эти равенства записываются так:

Р

е

n

n

F x

Fkx , F y

Fky ,

k 1

k

1

Fkx

0 и

Fky

0 .

У

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил в аналити-

Т

ческой форме: для равновесия плоской системы сходящихся сил

необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций

Н

всех сил системы на каждую из двух осей координат были равны ну-

лю.

Б

ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ НА ПЛОСКОСТИ

й

3.1. Пара сил. Эквивалентность пар сил

и

Система двух параллельных с л, равных по модулю и направ-

р

ленных в противоположные сто оны, называется парой сил или

просто парой (рис. 3.1).

Понятие

о па е с л ввел в механику фран-

цузский ученый Луи Пуанс н (1777–1859).

т

и

з

о

п

е

Рис. 3.1. Пара сил

РПара сил – неуравновешенная система и не имеет равнодейству-

M

F l .

Знак «плюс» ставится перед числовым значением момента в том

Т

случае, если пара стремится повернуть тело против хода часовой

стрелки, и знак «минус» – если пара стремится повернуть тело по

ходу часовой стрелки (рис. 3.2).

Н

У

Б

M

1

F

l

й

M 2 F2 l2

1

1

Правило

Рис. 3.2.

знаковимомента пары сил

т

В Международной сис емерединиц (СИ) моменты пар выража-

и

ются в Н м

или кН м .

Вращательное дейс в е расположенной в данной плоскости па-

з

ры зависит только от ее момента, поэтому для задания пары сил до-

о

статочно ука ать ч словое значение ее момента, а затем по данному

или выбранн му плечу определить силы пары или по силам подо-

брать не бх дим е плечо. Исходя из этого, на рисунках и схемах

пары сил из бражают иногда просто круговой стрелкой, харак-

е

т ризующ й лишь направление вращающего действия. Например,

Р

п( F , F ' ) и ( F , F ' ) (рис. 3.3, а), приложенные к брусу, мож-

пары

1

1

2

2

У

Т

Н

а

Б

й

и

р

о

т

б

. 3.3. Из бражение пары сил

Рис

з

3.2. Сложен е пар сил. Условие равновесия пар

о

Теорема: Система пар сил, действующих на тело в одной плос-

кости, эквивалентна паре сил с моментом, равным алгебраической

п

сумме м мент в пар системы.

е

До устим, на тело действуют три пары, моменты которых M1, M2

и M3 изв стны (рис. 3.4).

Р

Момент равнодействующей пары

M

M1

M2

M3 ,

M

Mk .

Если в результате сложения пар M

0 , то действующие на те-

ло пары сил образуют уравновешенную систему. Следовательно,

У

необходимое и достаточное условие равновесия системы пар выра-

жается одним уравнением:

Т

Mk

0 ,

Н

т. е. для равновесия системы пар сил,

де ствующихБна тело в одной

плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма

их моментов была равна нулю.

й

Значит, систему пар или одну па у можно уравновесить только

парой.

и

р

3.3. Момент пары

тносительно точки

о

Задолго до появлен я понятия о паре сил и ее моменте в механи-

т

ке возникло понят е о моменте силы относительно точки. Первый,

кто обратил вниманиеина важную роль в механике момента силы

относительно т чки, был Леонардо да Винчи (1452–1519), совре-

з

менную тракт вку понятия момента силы относительно точки дал

П. Вариньоно(1654–1722).

Мом нтом силы относительно точки называется взятое со

п

знаком «плюс» или «минус» произведение модуля силы на крат-

расстояние от точки до линии действия силы:

чайшее

Р

M

0 (F)

F l.

У

Т

Н

Б

й

и

Рис. 3.5. М

рсилы относительно точки

о

ГЛАВА 4. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА

мент

ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ (ПСПРС)

и

4.1. Приведение силы к точке

з

Теорема

араллельном переносе силы в любую заданную или

о

выбранную точку. Пусть дана сила F , приложенная к точке А

тв рдогоптела (рис. 4.1, а), и ее требуется перенести в точку О. При-

ложим к телу в точке О уравновешенную систему сил

F ' F '' ,

па-

е

раллельных

F и равных

ей по модулю

(т. е. F '

F ''

F ,

Р

рис. 4.1, б). Теперь кроме силы F '' , приложенной к точке О, обра-

зовались пара сил (F, F ')

с моментом M

Fl и момент данной

У

а

б

Т

в

Рис. 4.1. Параллельный перенос силы

Н

Таким образом, всякую силу

, приложеннуюБк телу в точке А,

F

можно переносить параллельно л н

де ствия в любую точку О,

присоединив пару сил, момент

равен моменту данной силы

й

относительно новой точки ее п иложен я.

Операция такого переноса силыиназывается приведением силы к

точке, а появляющаяся

при этом

пара (F, F ')

с моментом

которой

M M 0 (F)

– присоединенн й пар й.

о

Операция пр веден я с лы к точке имеет глубокий физический

смысл.

т

и

4.2. Приведение к точке плоской системы

з

произвольно расположенных сил

о

(рис. 4.2).

Пусть задана система четырех сил F1, F2 , F3 и F4

п

Выб р м произвольную точку O – центр приведения – и приве-

к нему силу

F , т. е. перенесем силу F в точку O, присоединим

дем

1

1

пару сил с моментом M1

M0 (F1 )

(на рисунке присоединенные

Р

рону поворота

силами F1, F2 ,

F3 и F4 соответствующих плеч

l1, l2 , l3 и l4 ).

У

Т

Н

и

Б

р

Рис. 4.2. Плоская система п о звольнойрасположенных сил

о

т

и

з

о

Р

п

2

е

Рис. 4.3. Приведение системы сил к центру

Затем приведем к точке O силу F . Перенесем ее в эту точку и при-

соединим пару с моментом M2

M0 (F2 ) . Так же поступим с осталь-

ными силами F3

и F4 , присоединив пары с моментами M3 M0 (F3 )

лентную системе приведенных сил. Сложив алгебраические моменты

присоединенных пар, найдем момент одной эквивалентной им пары:

Т

Mгл

M1

M2

M3

M4 ,

Н

У

Б

или, так как моменты присоединенных пар равны моментам данных

сил относительно центра приведения:

Mгл M0 (F1 ) M0

(F2 ) M0

(F3 ) M0 (F4 ).

и

р

Главный вектор системы F

F .

гл

kй

о

Главный момент системы Mгл

M0 (Fk ) .

Произвольная плоская система сил эквивалентна одной силе –

т

главному вектору – и дн й паре, момент которой равен главному

моменту.

и