МЕХАНИКА (1)

Z 0; N

Fiz 0,

ост.

ост.

части

части

откуда

N

Fiz .

Продольной силой в поперечном сечении бруса называется рав-

нодействующая внутренних нормальных сил, возникающих в этом

сечении:

У

N

σ A.

Т

В тех случаях когда продольные силы в различных поперечных

сечениях бруса неодинаковы, закон их изменения по длине бруса

Н

удобно представить в виде графика, называемого эпюрой продоль-

ных сил.

Б

Эпюра продольных сил – это

функции

N f (z) .

Эпюру продольных сил строят в первую очередь для того, чтобы

й

использовать ее при расчете б уса на п очность.

Напряжения. При растяжении (сжатии) бруса в его поперечных

график

сечениях возникают

н мальные напряжения (рис. 17.5):

р

оσ

N

.

только

A

и

з

о

п

е

Р

Рис. 17.5. Нормальные напряжения

Рис. 17.6. Местные

напряжения

мальных напряжений.

17.3. Продольная и поперечная деформации. Закон ГукаУ.

Модуль упругости. Коэффициент Пуассона

Т

Вопрос об определении нормальных напряжений теснейшим об-

разом связан с расчетами бруса на прочность. Умение вычислять де-

Н

формации и перемещения необходимо для расчетов на жесткость,

а также для определения сил в статически неопределимыхБ

системах.

Выделим из бруса, изображенного на р с. 17.7, бесконечно ма-

лый элемент длиной dz.

й

и

р

о

т

и

з

о

Рис. 17.7. К определению продольных и поперечных деформаций бруса

п

при его растяжении

еОтношение приращения (изменения) длины элемента к его пер-

воначальной длине называется относительным удлинением или

Рпродольной деформацией:

рицательной.

Т

a

Отношение изменения

размера поперечного сечения к его

первоначальному значению

называют

относительным попереч-

Н

ным сужением (расширением), или поперечной деформациейУ:

a

Б

ε '

a .

Продольную и поперечную деформации называют также линей-

ными деформациями.

й

и

ε (деформацией) и со-

В известных пределах нагружения между

ответствующим (действующим в ее направлении) σ напряжением

р

существует прямо пропорциональная (л нейная) зависимость, ко-

торая носит название закона Гука

зап

сывается в виде

о

σ

E ε.

Коэффициент

пропорци

нальн сти E называют модулем про-

дольной упругости (модуль упругости 1-го рода; модуль Юнга).

з

Е имеет ту же ра меность, что и напряжение, т. е. выражается в

о

паскалях или мегапаскалях.

Модуль пр д льной упругости – физическая постоянная данно-

п

го материала, характеризующая его жесткость: чем жестче матери-

ал,

меньше н деформируется при данном напряжении.

О ытным

утем установлено,

что при простом растяжении или

Р

сжатии отношение поперечной деформации к продольной – вели-

чина постоянная для данного материала. Это отношение, взятое по

абсолютномутем

значению, называется коэффициентом поперечной

деформации, или коэффициентом Пуассона:

μ

ε

.

ε

( μ = 0); максимальное – для каучука ( μ

0,5). Для большинства ме-

таллов и сплавов значение коэффициента Пуассона колеблется в срав-

Nl

У

нительно узких пределах: от 0,23 до 0,35 (в среднем примерно 0,3).

Определение изменения длины (удлинения или укорочения)

бруса. Удлинение или укорочение равно

Т

l

.

(17.1)

E A

Б

Выражение (17.1) часто называют формулой Гука, а произведе-

ние Е ∙ А условно называют жесткостью сеченияНбруса при рас-

й

тяжении (сжатии). Жесткость бруса (участка бруса) определяется по

формуле

и

с

E A

р

l

и численно равна силе, вызывающей удлинение (или укорочение)

т

бруса, равное единице длины: 1 м или 1 см и т. п.

При расчетах в единицах СИ к эффициент жесткости выражают

зи

в ньютонах на метр (Н/м).о

Величину, обратную коэффициенту жесткости, называют коэф-

фициентом податл вости:

о

β

1

1

.

с

E A

п

е

Коэффициент податливости численно равен удлинению (укороче-

нию) бруса, вызванному силой, равной единице силы: 1 H или 1 кН:

Р

l

N

с

или

l

βN.

дулю и противоположны по знаку (рис. 17.8).

У

Т

Н

Б

й

Рис. 17.8. Частный случай плоского напряженного состояния

Такое напряженное состояние нос т название чистого сдвига.

р

σ1 , мини-

Максимальное главное напряжен е следует обозначить

мальное

σ

3

; по условию

σ

σ

и; п омежуточное главное напря-

1

3

мент таким обра ом, чтобыназываютна четырех его гранях были только рав-

жение σ

2 = 0.

и

Чистым сдвигом

такое плоское напряженное состоя-

ние, при котором в окрес

носи данной точки можно выделить эле-

собой

ные между

касательные напряжения.

В качестве примера, иллюстрирующего возникновение чистого

п

сдвига, рассмзтрим кручение тонкостенной трубы (рис. 17.9, а). Из

условия равн весия отсеченной части трубы, изображенной отдель-

но на рис. 17.9, б, следует, что в поперечном сечении (любом) воз-

ника т

лишь

один внутренний

силовой фактор –

крутящий

У

б

Т

Н

Б

Рис. 17.9. Кручение тонкостенной трубы

й

и

р

о

т

и

з

Р с. 17.10. Деформация элемента при сдвиге

е

о

τ G γ.

Р

E

Здпсь G – упругая постоянная материала, характеризующая его

ж сткость при деформации сдвига и называемая модулем сдвига

или модулем упругости 2-го рода:

G

.

2(1 μ)

нимать внешние механические воздействия.

Н

2. Пластичность – способность материала не разрушаясьУда-

вать значительные остаточные деформации.

3. Упругость – способность материала после снятияТнагрузок

восстанавливать свои первоначальные формы и размеры.

4. Твердость – способность материала сопротивляться проник-

й

новению в него другого тела, практически не получающего оста-

точных деформаций.

Б

По характеру нагружения разл чают спытания статические, дина-

при

мические и испытания на усталость (

переменных напряжениях).

По виду деформации различают

спытания на растяжение, сжа-

о

тие, срез, кручение, изгиб. Реже пиоводят испытания при сложном

нагружении, например на с вместн е действие изгиба и кручения.

т

Механические испы ания пр в дят на образцах, формы и разме-

ями

ры которых установлены государственными стандартами или тех-

ническими услов

(р с. 18.1).

з

о

п

е

Рис. 18.1. Образец для проведения испытаний

РСтатические испытания на растяжение. Наиболее распростра-

а

У

Т

Н

Б

й

и

р

б

о

т

и

з

о

п

е

Р

У

Т

Н

Б

й

и

р

Рис. 18.3. Диаг амма астяжен я образца

A0

о

На рис. 18.3

которого

σ

Fпц

– предел пр п рци нальности – наибольшее напря-

пц

з

жение, до достижен я

справедлив закон Гука;

Fy

о

F

σy

A0

– пределиупругости – наибольшее напряжение, до до-

п0

стижения к т р го в образце не возникает остаточных деформаций;

е

т

σ

– предел текучести – напряжение, при котором про-

т

A

исходит рост пластических деформаций образца при практически

постоянной нагрузке;

Рσпч

Fпч

– предел прочности (или временное сопротивле-

A0

Отношение предельного напряжения σпред

к наибольшемуУрас-

четному напряжению σ , возникающему в элементе конструкции

Т

при эксплуатационной нагрузке, обозначают буквой n и называют

коэффициентом запаса прочности (или, как иногда говорят, ко-

эффициент запаса):

Н

Б

σпред

n

σ .

(18.1)

й

Значение n должно быть больше ед н цы (n > 1), иначе проч-

ность конструкции будет на ушена. Устанавливают значение ми-

и

нимально необходимого к эффициента запаса прочности. Этот ко-

эффициент обозначают [n] ирназывают требуемым (или норма-

тивным) коэффициен

м запаса прочности.

о

Прочность элемен а конс рукции считают обеспеченной, если его

расчетный коэфф ц енттзапаса прочности не ниже требуемого, т. е.

и

n

n .

з

Это неравенство называют условием прочности.

Ис ользуяовыражение (18.1), перепишем условие прочности в виде

п

σпред

е

n

n .

(18.2)

σ

Отсюда можно получить и такую форму записи условия прочности:

Р

σ

σпред

.

(18.3)

n