ИЭ / 9 сем (станции+реле) / Литература / Шнеерсон

N

Рис. 3.6. Частотные харакrериСТИЮI алrоркrмов с использованием производных:

а- зависимости Н(rо), Н(---(1)); б - зависимоС'111 A1(q) при разпичиьп: N;

в- зависимосrи A (N) и A2(N) при q == 1

требует для получения необходимой точности (1-2%) значи­ тельного быстродействия вычислительных средств.

Аналогичными методами исследуются частотные свойства значительного класса алгоритмов ЦИО, описываемых импульс­ ными характеристиками а.(пТ) вида (3.18) с комплексными ко­ эффициентами.

В частности, широко применяемому алгоритму двух выборок

(2.16) соответствует с учетом (3.15) передаточная функция

122

(3.24)

и амплитудно-фазовые частотные характеристики

Годографы H(ro), H(-ro) располагаются на окружности с цен­ тром в точке ei11/sinJ3, имеющей радиус 1/sinJ3 (рис. 3.7,а). Ок­ ружность проходит через начало координат и точку 2j на мни­ мой оси.

Используя соотношение (3.22), получаем с учетом (3.25) по­ сле преобразований частотные характеристики алгоритма при

()= ro/ro0 (рис. 3.7,б):

(3.26)

При ro = ro0 (q = 1) из (3.26) имеем ) 1 0 1 = 1; ( 20 1 = 1. Ука­

занное соответствует отсутствию отклонений измеряемых дан­ ным алгоритмом составляющих основной частоты, т.е. все ха-

Рис. 3.7. Частотные характерисrики алгоритма двух выборок

123

рактеристики рис. 3.7,б независимо от значений m и N прохо­ дят через точку А1 ; А2 = 1; q = 1. Как видно из рис. 3.7,б, при

увеличении N и уменьшении m преобладают дифференцирую­ щие свойства алгоритма двух выборок, сводящиеся к усилению сигналов высоких частот. При малых N и больших m усиление сигналов высоких частот происходит в меньшей степени, но уси­ ливаются сигналы низких частот.

В общем случае для алгоритмов с передаточной функцией (3.19) для точного измерения вектора, соответствующего сину­ соидальному сигналу с частотой Юо, необходимо с учетом изло­ женного выполнение условия A1(ffio) = A2 (roo).

3.4. Часrотвые характеристики алгоритма Фурье

Из (3.27) следует, что при любых целых q * 1 имеем F(t) = О,

т.е. составляющие высших частот, кратных Фо, подавляются ал­ горитмом полностью. Из (3.27) после преобразований имеем

где a(t) = ч, + qroot - 2,tq.

124

где с учетом изложенного ll.(t) - комплексная огибающая. После преобразований получим

При изменении a(t) в диапазоне О s; a(t) s; 21t выражение

(3.29) описывает движение 12.(t) по ЭJVIипсу. Полуоси эJVIИПса раВНЪI

Полная траектория f(t), характеризующая замер, определит­ ся сложением движений по эллипсу и одновременным враще­ нием эJVIипса относительно начала координат с частотой --<Оо·

Так как частоты roo и qroo в общем случае не кратны, то в про­ цессе измерения вектор E(t) может занимать положение на лю­

бом из ЭJVIипсов при их вращении относительно начала коор­ динат (см. рис. 3.5,в), т.е. результат измерения, так же как и для других алгоритмов ЦИО, при отклонении частоты может рас­

полагаться внутри кольца, ограниченного окружностями с ра­ диусами А1 (q), A2(q), аналогично рис. 3.5,в.

На рис. 3.8 приведены зависимости , характеризующие час­

тотные свойства «гладкого» алгоритма Фурье по выражению

(2.22).

Сравнение рис. 3.8 и 3.6,б показывает значительные различия частотных свойств алгоритма Фурье и алгоритмов, использующих

производные. В частности, алгоритм Фурье полностью подавляет

постоянную составляющую и частоты, кратные roo ( q = О, 2, 3, ...), т.е. кольца (рис. 3.5, в) приэтих частотахстягиваютсяк началуко­

ординат (А1 = О;А2 = О), что определяется свойствами разложения

в ряд Фурье. Наличие неопределенности измерения при различных частотах (от А1 доА2 на рис. 3.8) объясняется изменением во вре­ мени текущего измерения на основе интеграла (2.22) при непери­

одической (по отношению к частоте roo) функции(ro не кратно roo). При наличии во входном сигнале полезной составляющей ос­

новной частоты, характеризуемой вектором Ilo, и не кратной ей помехи, центр кольца смещается относительно начала коорди­ нат на величину Ilo , соответствующую полезной составляющей

125

Рис. 3.8. Характеристики «гладкого» алгоритма Фурье; пунктир - огибающая при дискретизации (N = 12)

20 10 о N

Рис. З.9. Отклонения

ряемоrо вектора при несинусоидальном сигнале

Таким образом, рассматриваемый алгоритм характеризует цифровую систему, обладающую импульсной характеристикой и передаточной функцией с комплексными коэффициентами.

Значения характеристик Н(оо) и H(-w) получим путем заме­ ны в (3.32) z на rот и e-jmт. В результате после преобразований имеем

(рис. 3.5,в) при частоте входного сигнала ro = qmo, определяют­ ся из (3.22), где с учетом (3.33) после преобразований имеем

На рис. 3.10 приведены частотНЪiе характеристики А1 (q), алгоритма Фурье при числе выборок за период N = 12.

При ro = ООо (q = 1) из (3.34) имеем А1 (q) = 1, A2(q) = 1 неза­

висимо от N, т.е. на основе алгоритма Фурье измерение векто-

127

О 1 2 З 4 5 6 7 8 9 10 q=ro

Рис. 3.10. ЧаСТОТНЬJе характеристики двскретиой реализации алгоритма Фурье при

N= 12

ра основной частоты производится без погрешностей независи­ мо от числа выборок. Характеристики алгоритма Фурье с уче­ том дискретизации (рис. 3.10) отличаются от «гладкого» преоб­ разования (см. рис. 3.8) тем больше, чем больше частота вход­ ного сигнала (пунктиром на рис. 3.10 проведена огибающая ха­ рактеристики А1 (q) при N = 00) Указанные различия увеличива­

ются с уменьшением N и объясняются эффектом наложения спе­ ктров при конечном числе выборок (см. рис. 2.5).

3.5. Динамические характеристики ЦИО

3.5.1. Факторы, обусловливающие динамические свойства ЦИО

Выше рассматривались характеристики, описывающие свой­ ства алгоритмов цифрового измерения в установившихся режи­ мах входных воздействий. Имеется две основные причины, обу­ славливающие отклонения измерений ЦИО в условиях повреж­ дений в электрической системе:

• наличие в измеряемых ЦИО величинах свободных аперио­ дических и гармонических составляющих в токах и напряжени­ ях, возникающих при повреждениях в ЭС. Эти составляющие

128

обусловлены динамическими процессами в электрической сис­ теме и нелинейностью ее элементов;

• инерционность самих алгоритмов, вызванная наличием в

них запоминающих звеньев, в частности, аналоговых и цифро­ вьrх фильтров [5, 15], в результате чего даже при скачкообраз­

ных измерениях синусоидальных сигналов основной частоты ro0 на входе ЦИО замер искажается и правильные измерения воз­ никают лишь через определенное время t = МТ, где М - чис­

ло необходимых выборок, соответствующее обычно порядку ал­

горитма (см. §2.2).

С учетом этого, например, классический алгоритм Фурье по вы­ ражению (2.24) дает правильные результаты ЛШП!> через время

t == NТ, равное периоду изменения основной частоты. Характери­

стики, определяющие отклонения замера ЦИО при синусоидаль­ ных возмущениях, вызванные инерционностью алгоритма функ­ ционирования и элементов самого ЦИО, назовем собственными динамическими характеристиками ЦИО. Анализ собственных ди­ намических характеристик важен ввиду не только определяемых ими замедлений срабатывания ЦИО, но и возникающих облас­ тей излишнего срабатывания (неселективного отключения). С учетом этого применяют специальные меры для повышения бы­ стродействия и точносrи измерения за счет снижения влияния собственных динамических свойств ЦИО (см. ниже).

3.5.2. Собственные динамические характеристики ЦИО

Рассмотрим поведении ЦИО в реальных условиях поврежде­ ния ЭС, когда напряжение основной частоты изменяется скач­ кообразно от значения инСt) = Ин sin(00ot + аuн) в нагрузочном

режиме до значения ик(t) = Uк sin(00ot + аuк) в режиме КЗ

(рис. 3.11). При этом имеется в виду, что для правильного измерения алгоритм использует m выборок входного сигнала

(порядок алгоритма m).

Физически наличие отклонений замера ЦИО в этом случае обусловлено тем, что при цифровой обработке скачкообразно

изменившегося в момент времени пТ входного сигнала выход­ ной сигнал зависит от п-т предыдущих выборок входного сиг­

нала, которые содержат информацию о предшествующем вход­ ном сигнале ин(t). Правильный замер вектора Llн(пТ), соответ­ ствующего предаварийной величине ин(t), имеет место при t < О (рис. 3.11), т. е. до возникновения повреждения.

129

Рис. 3.11. Входной сиmал при синусоидальном возмущении

В промежутке времени О < t < t2, где t2 = тТ - время, соот­

ветствующее появлению m выборок сигнала повреждения, в ча­ стности при t = t1 , измерение будет неправильным, так как бу­ дут виятьл выборки, соответствующие доаварийному сигналу

ин Сt). При t;;::: тТ измеряемое значение Il.(t) будет соответство­

вать установившемуся сигналу повреждения.

Учет этого фактора необходим при разработке быстродейству­ ющих ЦИО, так как возможны случаи, когда при повреждении вне заданных зон действия замер ЦИО в первые моменты време­

ни может находиться внутри этих зон из-за запоминания инфор­ мации, имевшейся на их входах до возникновения повреждения.

Рассмотрим анализ собственных динамических характеристик на примере алгоритма Фурье, определяемого выражением (2.23) (18]. Предаварийное напряжение ин(пТ) и аварийное напряже­ ние их(t) определяются по выражениям:

В соответствии с выражением (2.23) для текущего интервала

130