ИЭ / 9 сем (станции+реле) / Литература / Шнеерсон

Рис. 3.2. СТруктура нерекурсивноrо ЦФ

чениями выборок входной величины, и уравнение (3.2) прини­ мает вид:

м

у(пТ)=k=OLakx(nT-kT). (3.3)

Это уравнение определяет нерекурсивный цифровой фильтр, одна из возможных структур которого приведена на рис. 3.2.

Найдем импульсную характеристику h(пТ) нерекурсивного фильтра, описываемого уравнением (3.3), соответствующую вы­ ходному сигналу у(пТ) (рис. 3.2) при входном сигнале в виде одиночного импульса (рис. 3.1,а), т. е. при х(пТ) = о(пТ). Так как блоки Z-1 соответствуют элементам памяти, задерживающим входной сигнал на период дискретизации Т, то в момент пТ =

О имеем сигнал о(пТ) в точке О (рис. 3.2) и нулевые сигналы во всех остальных точках, т. е. на выходе сумматора I: при пТ = О имеем у(О) = а0о(пТ). В момент пТ = Тв точке О сигнал равен

нулю, так как входной сигнал уже отсуrствует, но в точке 1 по­ является запомненный блоком Z-1 сигнал о(пТ), который умно­ жается на коэффициент а1 и подводится к сумматору. Сигналы

в точках 2, 3, ... равны при этом нулю. Таким образом, в мо­

мент пТ = Т выходной сигнал соответствует смещенному на Т единичному импульсу, умноженному на коэффициент а1, т. е.

у(Т) = а1о(пТ- Т). С учетом этого, в момент тТ (т М) имеем единичный сигнал только в точке m схемы рис. 3.2 и выходной

сигнал есть смещенный на тТ единичный импульс (рис. 3.1,б), умноженный на коэффициент ат, т.е.у(тТ) = ато(пТ-тТ). Та-

111

ким образом, импульсная характеристика нерекурсивного ЦФ по выражению (3.3) имеет конечное число членов М + 1 и опи­

сывается выражением

Цифровые фильтры, имеющие импульсную характеристику h(пТ) с конечным числом коэффициентов (конечной длины) и описывающиеся выражениями (3.3), (3.4), носят название КИХ­ фильтров. В отличие от них у рекурсивных фильтров, описыва­ емых выражением (3.2), характеристика h(пТ) имеет бесконечное число членов, так как определяется не только вход­ ным, но и выходным сигналому(nТ). Эти фильтры носят назва­ ние БИХ-фильтров (ЦФ с бесконечной импульсной характерис­ тикой). Прототипами их являются обычные частотные фильт­ ры, у которых переходный процесс определяется составляющи­ ми Ake-Ьki; КИХ-фильтры прототипов в аналоговых устройствах не имеют.

Определим выходной установившийся сигналу(пТ) ЦФ с из­ вестной импульсной характеристикой h(пТ) при входном сигна­

Из (3.5) и (3.6) следует, что при входном сигнале в виде ком-

112

плексной экспоненциальной последовательности шпт выходной установившийся сигнал является такой же последовательностью, умноженной на постоянный комплексный множитель H(ro), за­ виеящий от частоты входной последовательности ro и коэффи­ циентов импульсной характеристики ЦФ h(пТ). Таким образом, выходная последовательность отличается от входной изменени­ ем значения каждого члена в JH(ro) 1 раз и сдвигом по фазе на

угол = argН(ro).

Величина H(ro) по выражению (3.6) является частотной ха­

рактеристикой ЦФ, связывающей входные и выходные последо­ вательности при входном сигнале х(пТ) = еjш т. Характеристи­ ка H(ro) определяет реакцию и на вещественный синусоидаль­ ный сигнал, который можно представить как сумму двух ком­ плексных экспонент:

Подставив каждую из составляющих (3.7) в выражение (3.5),

получим

где

k

Цифровые фильтры относятся к цифровым системам, у кото­ рых коэффициенты импульсной харак :еристики а0-ам по вы­ ражению (3.4) являются действительными числами. Для таких систем характеристики H(ro) и Н.(-(1)) являются комплексно со­ пряженными, т.е.

Алгоритмы ЦИО, как будет показано ниже, данным свойст­

вом не обладают. Построение, поясняющее выражение (3.10) для H(ro) и H(-{J)) на основе (3.6) и (3.9), приведено на рис. 3.3,а для случая М = 2.

113

Рис. 3.3. Величины Н(rо) и Н( ) при действительных (а)

икомплексных (б) коэффициентах

Сучетом (3.10) выражение (3.8) преобразуется к виду

откуда следует, что при входном дискретизированном синусои­ дальном сигнале установившийся выходной сигнал ЦФ являет­ ся также дискретизированным синусоидальным сигналом, изме­ нённым по амплитуде в H(ro) раз и сдвинутым по фазе на угол

= argН(ro).

Подставив в (3.6) вместо ro значение ro + k21t/T, где k - це­ лое число, получим

H(ro) = H(ro + k21t/T),

т. е. частотная характеристика является периодической фунIЩИ­ ей частоты ro с периодом Лrо = 21t/T и ЦФ одинаково реагирует на частоты ro и ro + k21t/T. В качестве примера на рис. 3.4 приве­ дены характеристики КИХ-фильтра, описываемого уравнением

у(пТ) = х(пТ) + х(пТ-Т) + ... + х(пТ-тТ), (3.12)

который имеет импульсную характеристику h(пТ) (рис. 3.4,а):

h(nT)= loCпT-kT).

,(),

Используя (3.6), получаем следующую частотную характери­ стику данного ЦФ:

114

АмПJiитудо-частотная и фазо-частотная характеристики ЦФ для случая m = 2 приведены на рис. 3.4,б,в. В данном случае фильтр близок по свойствам к mпеrрирующему звену, подавля­

ющему в определенной полосе составляющие высоких частот. Исследование свойств последовательностей и цифровых сие-

+

1

в)

Рис. 3.4. Характерисrики интегрирующего КИХ-фильтра

115

тем удобно проводить методами z-преобразования, определяе­ мого для последовательности х(п) следующим образом:

n=--

Применяя свойства z-преобразования к последовательностям в левой и правой частях уравнения (3.1), получаем

откуда имеем выражение для передаточной функции системы

т.е. передаточная функция H(z) является z-преобразованием им­ пульсной характеристики системы h(пТ). Поэтому для интегри­ рующего КИХ-фильтра по выражению (3.12) имеем

Y(z) = X(z)(1 + z-1 + z-2 + ... + z-m);

И в более общем случае, для БИХ-фильтров передаточная функция определяется z-преобразованием импульсной характе­ ристики на основе соотношения

Из сопоставления выражений (3.6) и (3.15) следует важное правило построения частотных характеристик цифровых систем, в частности ЦФ, по их передаточным функциям H(z), справед­ ливое и для частотных характеристик алгоритмов ЦИО (см. ни-

116

же): для нахождения H(ro), достаточно осуществить в )&,(-по­ становку z &(&ют, т. е.

.,.-Частот. ные характеристики алrоритмов цифровоrо измерения синусоидальных величин

Рассмотренные в §2.2 алгоритмы вычисления векторов по вы­ боркам мгновенных значений синусоидальных величин можно рассматривать как уравнения, описывающие цифровые систе­ мы, входными сигналами которых являются действительные ци­ фровые последовательности и(пТ), а выходными - коммекс­ ные цифровые последовательности Il(nТ), которые мoryr харак­ теризоваться и двумя действительными последовательностями, например ИхСпТ), Uy(nТ) (см. рис. 2.9).

Так как в результате измерения должны быть получены пара­ метры вектора (амплитуда И, фаза <р), зависящие как от Их(пТ), так и от Иу(пТ), полноценно исследовать свойства алгоритма можно, учить1вая эти последовательности одновременно, т.е. рассматривая цифровую систему с входным сигналом в виде од­ ной комплексной последовательности Il(nТ). В этом случае име­ ется аналогия между структурами алгоритмов ЦИО и цифровых фильтров с существенным различием, заключающимся в том, что уравнения, описывающие алгоритмы ЦИО, содержат не дей­ ствительные,а комплексные коэффициенты. Структуры алгорит­ мов в отличие от ЦФ содержат блоки умножения выборок на

коммексные числа, например -&q&.&)() на рис. 2.9,а.

С учетом этого алгоритм цифрового преобразования действи­ тельной цифровой последовательности. и(пТ) в векторную по­ следовательность D.(пТ) характеризует эквивалентную цифро­ вую систему с коммексными коэффициентами и имеет в нере­ курсивной форме вид

D.(пТ) &( и(пТ) + g&и(пТ-Т) + ... + «ти(пТ-тТ),(3.17)

где -(-.) коммексные коэффициенты.

Импульсная характеристика l!(пТ) цифровой системы по вы­ ражению (3.17) описьmается соотношением

а(пТ) &( о(пТ) + g( о(пТ-Т) + ... + «тБ(пТ-тТ), (3.18)

117

сопряженными числами, т.е. не выполняется соотношение (3.10). несопряженность H(ro) и Н(-(1)) при комплексных коэффицие пах Цо-«m поясняет рис. 3.3,б.

Определим выходной сигнал ll(nТ) цифровой системы с алго­ ритмом (3.17) с передаточной функцией H(z) по выражению (3.19), соответствующей алгоритму измерения вектора на осно­ ве выборок сигнала и(пТ) = sin(ronT + 'lf) в общем случае при ro с1:- ro0 (5]. Из (3.8) при использовании нерекурсивной обработ­

ки m выборок сигнала в соответствии с (3.17) получим:

o.(n,ro)=ronT+'ljf-1t/2.

При изменении п годограф 12.(пТ) по выражению (3.20) опи­ сывает в комплексной плоскости эллипс (рис. 3.5,а), поверну­ тый относительно осей координат на угол

лq>- J3(ro)+J3(-ro).

-----

2

Большая А1 (ro) и малая Airo) полуоси эллипса равны

При изменении п выходной комплексный сигнал соответст­ вует точке, движущейся по эллипсу (рис. 3.5,а).

При вещественных импульсной характеристике и передаточ­

ной функции с учетом (3.10) имеем Лq> = О; A1 (ro) = H(ro); A2(ro) = О, и эллипс вытягивается в отрезок прямой (рис. 3.5,б).

119

+

Рис. 3.5. Изменение векторов при ОТК11оненни часrоты (ro * о>о)

Результирующий сигнал является при этом действительной си­ нусоидальной функцией, дискретизированной во времени, из­ меняющейся от A1 (ro) до -A1 (ro) (рис. 3.5,б) в соответствии с

(3.11) при H(ro) = A1 (ro).

Таким образом, в общем случае в соответствии с рис. 3.5,а и соотношением (3.20) амплитуда измеряемого вектора не явля­ ется постоянной во времени, так как конец вектора описывает не окружность, а эллипс и изменяется _при входном единичном по амIVIитуде синусоидальном сигнале в пределах от A2 (ro) до A1 (ro). С учетом этого имеются две АЧХА1 (rо), A2 (ro), ограничи­

вающие возможные изменения амIVIитуды вектора сверху и

снизу.

Для анализа измеряемого вектора D.(пТ) по выражению (3.20) при различных частотах во многих случаях целесообразно про­ извести операцию «останова» вращающегося вектора Il(nТ) =

= u Сюопт + v> (рис. 2.6,б) путем умножения его на оператор е-jюопт. При этом получим для дискретизированного синусои­ дального сигнала частоты ro0 постоянный по времени вектор Il(nТ) = Ue-i'I', что соответствует операциям с синусоидальцыми

величинами, применяемыми в символическом методе анализа цепей и сигналов переменного тока. Для цифровой системы по выражению (3.17) эта операция с выходным сигналом D.(пТ) имеет вид

(3.23)

Однако постоянный во времени выходной сигнал, соответст­ вующий измеряемому вектору при операции (3.23), получается

120