книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления
.pdf80 |
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА |
[ГЛ. I |
отличающимися |
от характеристик апериодического |
звена лишь |
знаком; |
|
|
|
Рис. 1.22. |
|
|
5) колебательного звена с передаточной |
функцией |
||
W(s) = |
1 |
(1.203) |
|
7|s* + 2C*7*S + |
|||
|
l |
||
ис логарифмическими частотными характеристиками (рис. 1.23 и 1.24):
£( “) = — Lm / ( l — 7Лш *)*+(2С*7»*,
®(ш) = |
arctg |
(1.204) |
> |
||
|
1 — 7 > а |
|
6) дифференцирующего звена |
второго порядка с передаточной |
|
функцией
Г (5) = х^2 + 2СЛ 5 + 1 |
(1.205) |
21] |
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ |
81 |
||
и с логарифмическими частотными характеристиками |
|
|||
|
L (ш) = |
Lm |
1 — т'^ш2)3 -f- (2CdTdu))2, |
(1.206) |
|
0 (со) = |
arctg |
12Хз~ |
|
|
|
|||
|
|
|
1 — |
|
отличающимися от характеристик колебательного звена лишь знаком.
Согласно (1.196), общие выражения для Z,(co) и 0 (ш) имеют вид
р_______
L (со) = |
LmK — v L otc o — |
2 Lm у |
1 -f- Т2со2 — |
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
— 2 Lm У(1 |
- 7 |
’3wcoa)3 + |
(2Cft/7’ftico)3 + 2 Lm Ут?со2 + |
1 +■ |
|
/=i |
|
2 Lm / ( 1 — T^coa)3+ (2 !;(iiTdico)3 |
|
|
|
|
+ |
(1.207) |
||
0 (со) = |
— v y — ^ |
arctg 7 > — ^ |
arctg - 'X'kiTki® |
|
|
|
|
|
i-i |
|
|
|
|
+ |
У arctg т1(о + 2 arctg |
(1.208) |
|
|
|
|
/-1 |
|
|
6 Зак. 1083. В, В, Солодовников :
82 |
НЕКОТОРЫЕ |
ВОПРОСЫ АНАЛИЗА |
[ГЛ. I |
Выражения |
(1.207), (1.206) |
показывают, что |
логарифмическая |
амплитудная L{ш) и фазовая 0 (ш) характеристики |
могут быть полу |
||
чены в результате простого сложения ординат характеристик эле ментарных звеньев, определяемых выражениями (1.198), (1.200), (1.202), (1.204) и (1.206).
Существуют простые способы построения кривых /.(со), 0 (ш), не требующие никаких предварительных вычислений1).
22. Связь между переходным процессом |
при любом воздействии |
и импульсной переходной |
функцией2) |
Переходный процесс л‘(7), вызываемый воздействием /(7), можно определить при помощи формулы (1.35), зная передаточную функ цию Ф (ум) и преобразование Фурье F (ум) для воздействия /(7).
Рассмотрим теперь вопрос о том, каким образом, оставаясь в области вещественного переменного 7, можно определить пере ходный процесс х(7), вызываемый произвольным воздействием /(7), если известна импульсная переходная функция системы.
fit)
Очевидно (рис. |
1.25), что |
воздействие |
/(7) можно представить |
|
в виде суммы |
достаточно большого числа импульсов, каждый из |
|||
которых имеет |
ширину A7i и |
высоту |
Каждый такой импульс |
|
можно представить |
в виде |
|
|
|
|
|
/(7 i)A7io ( 7 - 7 i) |
(1.209) |
|
•) См., например, Основы автоматического регулирования. Теория, Машгиз, 1954.
*) См. там же.
22] СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРЕХОДНЫМ ПРОЦЕССОМ И ИМПУЛЬСН. ПЕРЁХ. ФУНКЦИЕЙ 83
и, следовательно, приближенно можно написать:
С1'210)
/*= - п
Здесь предполагается, что f(t) Ф 0 при t < 0.
Переходный процесс х((), вызванный в линейной системе после довательностью импульсов, равен сумме переходных процессов, вызванных каждым из этих импульсов в отдельности.
Но переходный процесс, вызванный единичным импульсом о(^ — tt), определяется импульсной переходной функцией k(i — /;). Поэтому переходный процесс от каждого из импульсов (1.209) может быть представлен в виде
/( / ()Д//г (/ — /,),
апереходный процесс x(t), созданный последовательностью им пульсов (1.210), будет определяться выражением
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х ( 0 = |
2 / ( / ;) / е ( / - / г)Д/|. |
(1.211) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i= - П |
|
|
|
|
|
|
В пределе, |
при Д/; ->• 0, вместо |
(1.211) |
можно написать: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*(/) = |
f |
k(t — T)/(T)dT. |
(1.212) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
|
или |
так |
как |
согласно |
(1.81) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
k (/ — т) = |
0 |
при |
т > t, |
|
||
то |
вместо (1.212) |
получим: |
t |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JC (0 = |
f |
k{t — -z)f(z)dx. |
(1.213) |
||||
Вводя |
в (1.213) |
новую переменную |
интегрирования |
|
|||||||||
будем |
иметь: |
|
|
|
X= |
t — т, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
*(*) = |
— |
f |
k ( \ ) f ( t — X)dX = |
J |
f{ t — t)ft(x)dT. |
(1.214) |
||||
|
Вид |
импульсной |
переходной |
функции |
k (/) позволяет |
судить |
|||||||
о том, насколько сильно значения воздействия f(t) в моменты, пред
шествующие моменту |
t, |
влияют |
на переходный процесс в рассмат |
||||
риваемый |
момент времени t. Чем «шире» импульсная функция /г, т. е. |
||||||
чем |
больше интервал времени t, на котором функция к еще заметно |
||||||
отличается |
от нуля, |
тем |
более |
отдаленные |
значения |
функции /(/) |
|
от |
рассматриваемого |
момента |
времени |
t должны |
приниматься |
||
6*
84 |
|
НЕКОТОРЫЕ |
ВОПРОСЫ АНАЛИЗА |
[ГЛ. t |
во |
внимание |
при вычислении |
интеграла (1.213). Так, например, |
|
на |
рис. 1.26 |
&,(£ — т) «шире», |
чем kz (t — т). |
|
«Ширина» |
импульсной |
функции определяет искажения вели |
|||
чины x(t) |
на |
выходе по |
сравнению |
с величиной |
f( t ) па входе. |
Очевидно, |
что |
динамическая |
система |
будет хорошо |
воспроизводить |
лишь |
такое воздействие, которое мало |
изменяется в пределах ши |
||
рины |
импульсной функции, и, |
наоборот, |
она будет сильно искажать |
|
и сглаживать изменения в |
воздействии |
f(t), |
которые происходят |
|
в течение промежутков времени, незначительных |
по сравнению с ши |
|||
риной импульсной переходной |
функции. |
|
|
|
23. Интегральная форма записи выражения для ошибки или отклонения регулируемой переменной
Обозначим через k{t) импульсную переходную функцию системы, соответствующую задающему воздействию g(t) в виде единичного импульса, и через /(/) — импульсную переходную функцию, соот ветствующую возмущающему воздействию /(/) в виде единичного импульса. Мы можем написать:
k(t) = ^ У Ф (уш) e>al du ,
(1.215)
ОО
40 = ^ f rU^ef'da.
— СО
Пользуясь (1.214), переходный процесс x(t), вызванный в си стеме автоматического регулирования воздействиями g(t) и f(t), можно представить в следующем виде:
ОО |
ОО |
|
* (0 = / g { t — T)A(-u)dx4- f |
/ ( / — ■c)/(x)dx. |
(1.216) |
О |
О |
24] КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБКИ 85
|
Так |
как |
ошибка |
или отклонение e(f) регулируемой перемен |
||
ной |
х (t) |
определяется |
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
6 (0 = g(t) — x(t), |
|
|
то, |
принимая во внимание (1.216), мы можем |
написать: |
|
|||
|
|
|
00 |
со |
|
|
|
z(0 = |
g ( t) — f |
g (t — x ) k ( x ) d x — J f ( t |
— x)l(x)dx. |
(1.217) |
|
|
|
|
о |
о |
|
|
Втом частном случае, когда точки приложения управляющего g (t)
ивозмущающего /(f) воздействий совпадают,
Н О = |
1(f) |
|
|
и |
|
|
|
/< r(s) = |
V(s). |
|
|
Выражение (1.217) сводится к виду |
|
||
СО |
|
|
|
в(0 = ff(0 — / Iff(f—О+f(f—*01* СО |
|
||
о |
|
|
|
или |
|
|
|
e ( 0 = f f ( 0 — |
/ |
<f(t — x)k(x)dx, |
(1.218) |
где введено обозначение |
о |
|
|
|
|
|
|
<p(0 = |
f f ( 0 + /( 0 - |
|
|
24.Коэффициенты ошибки
Предположим, что возмущающее воздействие /(/) = 0, а воздей ствие g"(f) на входе системы представляет собой функцию, имею щую т первых производных в интервале 0 < f < o oТогда. можно написать:
g (* — О = g (О — xg (f) -+- ^ x*g (f) — . . .
/ _ \ m - l
где
|
|
^ = |
°< Д< L |
|
Подставив |
(1.219) |
в (1.238), получим следующее выражение для |
ошибки е (f): |
|
|
|
в ( 0 |
C , S ' « , |
т C ,g (О |
-I- § /; (<) + . . . |
+ |
П-220) |
3 6 НЕКОТОРЫЕ ИОПРОСЫ АНАЛИЗА [ГЛ. I
где
|
оо |
|
С0 = 1 — J k (т) с/т, |
||
|
о |
|
|
СО |
|
С ,= |
J т/е(т)</т, |
|
|
О |
( 1. 221) |
|
|
|
с * = |
(— I ) * ' 1/ |
(X) rfx, |
|
О |
|
|
СО |
|
К а = (— 1 )ш и f |
(t — Дт) /г (т) rft. |
|
|
о |
|
Коэффициенты С0, С,, . . . называются коэффициентами ошибки. Если воздействие g(() изменяется медленно, то уже при малых т последний член в (1.220) достаточно мал, и приближенно можно
написать:
8(0 ~ Cog (/) + Cxg (t) + g (0 4- . . . 4- /Г''"-1’ (0- (1.222)
Выражение (1.222) дает простой способ вычисления ошибки е(/). Коэффициенты С0, С,, С2, . . . могут быть вычислены не только при помощи выражений (1.221), но и по заданной передаточной
функции Ф (s). Действительно,
|
|
СО |
|
|
|
Ф(<?)= J Л(т)е-«<*т. |
(1.223) |
||
|
|
о |
|
|
Дифференцируя (1,223) k раз по s |
и полагая s = |
0, получим: |
||
dkФ (s) |
|
|
(1.224) |
|
ds |
==(— 1)* Г т*А(т)й/т. |
|||
-о |
|
J |
|
|
Сравнение формул |
(1.224), |
(1.221) |
дает |
|
|
^ |
{1 _ Ф (5)> |
(1.225) |
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
Можно также написать: |
|
|
|
|
|
Сь = |
d 4 , (s) |
Lo |
(1.226) |
|
dsk |
|||
|
|
|
||
24] |
КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБКИ |
87 |
Коэффициенты ошибки Си удобно вычислять следующим образом. Взяв преобразование Лапласа от обеих частей равенства (1.222),
получим:
£ ( s) = (c0-1-C1(S) + § s2+ § S34 - . - - ) g (s). (1.227)
Но
Е (5) = |
Ф, (s) О (s). |
|
Поэтому легко видеть, что если ®£(s) имеет вид |
|
|
ФAs) |
D(s) |
(1.228) |
D (s) + M (s) ’ |
||
то коэффициенты Си можно получить простым делением числителя выражения (1.228) на его знаменатель.
Г Л А В А II
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.Введение
Впредыдущей главе были рассмотрены основные характери стики линейных систем, полностью определяющие их динамические свойства. Такого рода характеристиками, как мы видели, могут служить либо импульсная переходная функция, либо передаточная функция, причем обе эти функции определяются исключительно
свойствами самой системы и не зависят от |
характера приложенных |
к ней воздействий. |
|
Следующая наша задача заключается в |
рассмотрении способов |
математического описания непрерывно изменяющихся случайных воз действий.
Для того чтобы подойти к решению этой задачи, нам потре буются некоторые вспомогательные сведения из теории вероятно стей, излагаемые ниже1).
2.Частота и вероятность случайного события
Ккатегории случайных явлений можно отнести все те явления, точное предсказание протекания которых в каждом отдельном слу чае оказывается невозможным.
Однако, если вместо того, чтобы рассматривать каждое из слу чайных явлений в отдельности, мы обратимся к совокупности боль шого их числа, то окажется, что средние результаты обнаруживают своего рода устойчивость.
Для того чтобы пояснить это, рассмотрим некоторый случайный эксперимент, который может быть повторен большое число раз при
одинаковых условиях. Примерами такого |
рода |
экспериментов могут |
служить, скажем, бросание монеты, измерение |
некоторой величины |
|
Ч Более подробное и строгое изложение |
вопросов, рассматриваемых |
|
в этой главе, читатель может найти в курсах по теории вероятностей. См.,
например, |
Г н е д е н к о Б. В., Курс теории вероятностей, Гостехиздат, 1950, |
К р а м е р |
Г., Математические методы статистики, ИЛ, 1948. |
2] |
ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ |
89 |
|||
и т. д. |
Будем повторять наш |
эксперимент |
большое |
число раз, |
вся |
кий раз |
наблюдая происходит ли некоторое событие А. |
|
|||
В первом примере им может быть выпадение герба, а во втором |
|||||
случае |
это событие А может |
заключаться |
в том, |
что измеряемая |
|
величина оказывается заключенной в некоторых фиксированных
пределах. |
первых |
N экспериментах |
событие |
А произошло |
v раз, |
|||
Если в |
||||||||
то частотой события А называется отношение-^-. |
|
|||||||
Статистическая устойчивость, о которой |
мы |
|
упоминали |
выше, |
||||
заключается |
в том, |
что |
при возрастании |
числа |
экспериментов N |
|||
частота |
определенного события А стремится к некоторому более |
|||||||
или менее постоянному значению. |
|
|
|
|
|
|||
Иллюстрацией к |
этому |
обстоятельству |
может |
служить рис. 2.1, |
||||
на котором |
изображена |
частота |
события |
«выпадение |
герба» |
|||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
в функции от числа бросаний монеты. Как мы видим, частота сильно колеблется при малых N, но при возрастании N амплитуда коле баний постепенно уменьшается и частота стремится к значению, рав-
ному ^1 •
Таким образом, можно высказать следующее предположение: для каждого события А, связанного с некоторым случайным экспери ментом, можно указать такое число Р, что при достаточно большом числе экспериментов, производимых при одинаковых условиях, частота события окажется приблизительно равной Р.
Высказанная гипотеза, имеющая под собой экспериментальное основание и характеризующая упомянутое выше понятие статиста-