книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

ческой устойчивости результатов эксперимента, лежит в основе ма­ тематической статистики. Число Р называется вероятностью собы­ тия Л.

случая Р — 1.

3. Функции распределения вероятности

Рассмотрим некоторый эксперимент, который может быть по­ вторен большое число раз при неизменных условиях. Будем предпо­

рении величины ошибки какого-либо прибора. В результате первого

лена при помощи суммирования частоты всех наблюденных значений ошибки, меньших или равных х). Эту вероятность будем обозначать

Я (5 О ) .

Полученная таким способом кривая F (х) обычно называется кривой интегрального распределения вероятности для величины ошибки. Очевидно, что интегральная функция распределения F (ос) =

92 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ. II

где суммирование распространено на все значения индекса v, для

равная постоянной величине на любом интервале, не содержащем точки л\, и имеющая в каждой точке х ч скачок p v.

Распределение дискретного типа может быть графически пред­ ставлено при помощи ступенчатой функции F (х) (рис. 2.2) или графика, на котором каждой точке х ч соответствует ордината высоты р ч

(рис. 2.3).

Величина ? называется непрерыв­ ной случайной величиной, если функ­ ция распределения F (х) всюду не­ прерывна (рис. 2.4) и плотность вероятности w(x) — F/ (x) сущест­ вует и непрерывна для всех значе­ ний х. В этом случае

следовательно, вероятность того, что величина \ принимает частное значение равна нулю при любом jcv:

■ / > ( $ = * , ) = 0 .

3) характеристическая функция Ч; (уш) суммы независимых слу­ чайных переменных х = х 1- \ - х 2-\- . . . - \ - х п равна произведению характеристических функций этих переменных, т. е.

'Р'(у'ш) == Ф, (у'ш) ВДсо) . . . 4J„ (усо),

где vF(y'io) означает характеристическую функцию случайной пере­ менной х.

б. Средние значения и моменты

Определим среднее значение случайной величины с дискретным

N

v = 1

Средним значением или математическим ожиданием величины Е называется сумма')

N

(2. 8)

представляющая собой взвешенное среднее значение величины £, причем весами служат вероятности в точках сосредоточения массы.

Точно так же, если g (£) представляет собой функцию случайной величины С то ее средним значением или математическим ожиданием называется сумма

ления среднего значения нужно взвесить наблюденные значения случайной величины по их частотам, т. е. взять сумму произведений наблюденных значений £2, . . . . на их частоты.

Рассмотрим теперь способ определения среднего значения слу­ чайной величины \ с непрерывной функцией распределения.

х = М (х) ^ ^ xw (х) Ах,

Ад*

*) Здесь и далее математическое ожидание случайной величины обозна­ чается значком /V,

6] ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 97

6. Характеристики распределения

На практике часто бывает важно описать распределение хотя бы в общих чертах при помощи немногих простых параметров. Рассмот­

представляет собой момент второго порядка случайной величины. Отклонением Д; случайной величины называется разность

Д; = S — т0.

Если известно типичное значение случайной величины, например ее среднее значение т0, то часто бывает необходимо вычислить некоторый параметр, показывающий, насколько широко разбросаны значения этой величины по каждую сторону от типичного значения. Параметр такого рода называется характеристикой рассеяния.

7 Зак. 1083. В. В. Солодовников

98 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ. II

Он называется дисперсией случайной величины и представляет момент

отрицательное значение квадратного корня из (32, которое называется

7. Нормальное распределение

Нормальная интегральная функция распределения имеет вид

Соответствующая нормальная плотность вероятности

1

W (х) = F' (х) : (2.27)

Y 2л

Графики этих функций приведены на рис. 2.6 и 2.7, Среднее зиа-

W(Xj

Fix}

чение для этого распределения равно нулю, и соответствующее ему среднее квадратическое значение случайной величины \ равно единице.

7 НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 99

]

Действительно,

При х = 0 кривая w(x) имеет максимум, равный

Случайная величина ij называется нормально распределенной с пара­ метрами т0, с, если ее интегральная функция распределения есть

вдоль оси абсцисс без изменения ее формы, тогда как изменение вели­ чины с вызывает изменение масштаба вдоль обеих координатных осей, причем площадь, заключенная между кривой w(x) и осью абсцисс, остается, конечно, равной единице (рис. 2.8).

Чем меньше с, тем большая часть массы сосредоточена в окрестно­ сти точки х = т0.

Из определения среднего арифметического а, среднеквадратиче­ ского с и срединного Ъ значений случайной величины £ [см. фор­ мулы (2.22а), (2.25а), (2.23)] ясно, что задание одной из них доста­ точно для определения двух остальных (если известна функция рас­ пределения).