книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

димости в

предварительном определении интервала интегрирования.

Т находится в процессе расчета для каждого фиксированного т,

исходя из

сходимости последовательности

T i < T t < . . .

< тп.

■ (4.45)

При

этом

R ( х) рассматривается

как

предел

последовательности при

Т -*■ оо. т.

е. для фиксированного

х

выбирается Т

таким

образом.

чтобы для наперед задан­

ного е неравенство

|Я(т, T J - R ( x . Тп) \ < е

(4.46)

выполнялось бы при всех

Тт, Тп, удовлетворяющих

условиям

Т,п > Т .

Tn >

Т. (4.47)

Таким образом,

методика

непосредственного вычи­

сления

корреляционных

функций сводится к сле­

дующему.

1. Определяем R(x) для ряда значений т.

Вычисления прекращаем,

как

только

начнет выполняться

условие

I Я (О | <

0.05 | Я (0)|,

(4.48)

где

/?(т) — корреляционная функция

центрированного случайного

процесса.

вычислении значения R(x), соответствующего

фиксиро­

2. При

цесса х (/).

методов

вычисления

спектральной плотности

Один из возможных

ПО экспериментальным

данным

заключается

в том, что по записи

случайного процесса x{t) и

на достаточно большом интервале (0, Г)

с помощью гармонического

анализатора определяются коэффициенты

ряда Фурье av b

периодической

функции x T(t), совпадающей с x(t)

на интервале наблюдения (0, Т),

после

чего значения функции 5 (ш)

определяются при

помощи формулы

5 Ю « у ( ^ +

Й).

(4.49)

Второй метод вычисления спектральной плотности основан на

применении узкополосных фильтров.

Среднее значение квадрата величины на

выходе фильтра (см.

далее, гл. V, § 2), имеющего амплитудную частотную характери­

стику А (со), определяется выражением

СО

^ = 2 ^

/

А2 (ш) S (ш) dl"

(4.50)

— СО

Если бы фильтр имел бесконечно узкую

полосу пропускания

при ш = шс, то вместо (4.50)

можно

было бы

написать:

2

1

/

ч

(4.51)

-^шс =

(шс)

или

4

=

5 (/с)-

(4.52)

4 ^ S

( / C)

[ А2(/) df

(4.53)

и, следовательно,

$ (/.) =

—

х )

(4.54)

------- ■

172

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

[ГЛ. IV

ное

на интервале наблюдения Т и зная интегральную чувстви­

некоторая кривая F ( ш)

и нам

необходимо приближенно

представить

ее дробно-рациональной функцией 5 (ш) вида

о /

\ __ fro +

fri(°:i+ ••• -\-bm<*vn

(4.55)

К ’

«о+

+ в я“*"

Вместо (4.55) мы можем написать:

0 o+ v 2+ . . . + /1 „ у т ) -5 ( ш )( а 0+ А 1Ш2+

. . . + О(|ш*я) =

0. (4.56)

Выбрав какие-либо точки

на

заданной

кривой для

(/г.—)—w —(—2)

частных значений ш

и

определив

ординаты

кривой, т.

е.

значения

вестных коэффициентов Ь0, Ь1......... bm\

а0,

аь . . . . ап вида

(*0- и У ; +

•••

— 5 Ы ( во + ° 1 ш! +

+ алш1л) = °-

(4.57)

(*0 + 'VUn+m +2H-- • • • ^ r bmK+m +z ) ~

— S (% +m+3) ( a0“l_fll<Un+m+2 +

+

а Я(Ол+т+2) = 0 -

Решение этих уравнений даст нам численные значения коэффи­

циентов Ь0......... bm\ а0............ап.

имеет еще и тот недостаток,

Помимо

громоздкости этот метод

I l l

ПРИМЕНЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ

ФУНКЦИЙ

1 7 3

велико,

то и тогда нельзя утверждать, что погрешность

приближе­

ния, т. е. разность

А = /=■(<о) — S (со),

(4.58)

получится достаточно малой по абсолютной

величине в точках, не

совпадающих с выбранными точками ш(, ш2, . . .

2.

Метод приближения, основанный

на разложении в ря

заключается в следующем.

Предположим,

так

же как и в предыдущем параграфе, что нам

задана кривая F (ш), которую необходимо представить дробно-рацио­

нальной функцией S(w) вида (4.55).

П е р в ы й

шаг. Произведем

замену

переменной, положив

u>=

tg у .

(4.59)

Очевидно,

что

интервал

[— со, оо]

для

переменной ш соответ­

ствует интервалу

[— тс,

-f-ic]

для

переменной

ср.

Построим кривую /■’(ср). Эта кривая

в отличие от кривой F(u>)

представляет собой периодическую кривую с периодом 2тг.

Пы)

F(f)

Рис. 4.1У.

Для того чтобы ее найти из F ( со), необходимо,

оставляя вид

самой кривой F (ш) неизменным (рис. 4.19), пересчитать лишь абсциссы

последней в абсциссы кривой

(ср) по формуле

-|- = arctg<u.

(4.60)

В т о р о й

шаг.

Разложим

получившуюся четную

периодическую

функцию

F ((f) с периодом 2гг в ряд Фурье:

Д(ср) =

с0 —|— cos ср —{— . . . —)—сАсosky.

(4.61)

Это разложение может быть выполнено хорошо известными спо­

собами,

основанными

на определении 12, 24 или 36

ординат кри­

вой F (ср).

шаг.

Произведем

в (4.61) замену переменной, положив

Т р е т и й

w — coscp.

(4.62)

1 74

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ

ХАРАКТЕРИСТИК

[ГЛ. IV

При этом

выражение

превратится в

Vr,(cp) = cosvcp

(4.63)

Vv(«) =

cos [v arccos и].

(4.63a)

Напомним теперь, что полиномом Чебышева

первого

рода

назы­

вается

полином

тЛ и) =

COS VC0

■ и — cosy,

v = l ,

2 , . . .

(4.64)

2v-i

Сравнивая

(4.64)

с (4.63а),

мы

видим,

что

Vy{u) =

2 - X ( » ) -

Таким образом,

в результате замены переменной по формуле (4.62)

выражение (4.61)

примет вид

F (и) — с0 -(- схи +

с 22

Г 2 м( )

-)- с322Г3(м) -ф- . . . -)- ск2

Тк (и).

(4.65)

Но

cos 2<р

2 cos2 ср— 1

2

1

ТЛ «)= и .

(4.66)

Тг ( и ) = ^

“

“

Т •

а многочлены Т3(и),

ТА(и), . . . .

Тк(и)

могут

быть

вычислены по

известной

рекуррентной формуле для полиномов Чебышева

Т ^ 1(и) =

и Т , ( и ) - ^ Т ч_ 1(и),

v = 2.

3 . 4 . . . .

(4.67)

Так, например,

Тз(и) — иТ2 (ц) —

7’,(ц) =

= и (и* — -1) — j и = м3 — ^ к;

T’j («) =

м7’3 (и) — -i- Т2 (и) ==

,

(4.68)

= И( И3_ | . ц) _ 1 ( М2_ ^ ) ==а4 _ и2+ _ .

=

«7’4(ц)— ^-7’3(и) =

и (и4 — м2 +

-§-) —

и т. д.

- 4 ( “ 3 - т и ) = м6- т м3+ й м

Итак,

вычислив

полиномы

7\(и)

по формуле (4.67)

и подставив

их в (4.65), получим:

/7(и) =

о0-(-а,и +

а2агЧ -

. . . +а*и*.

(4.69)

ПРИМЕНЕНИЕ

ДРОБНО “ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

175

Ч е т в е р т ы й

шаг. Найдем

теперь, пользуясь

(4.59)

и (4.62),

связь между переменными

ш и а.

Имеем:

и = cos ср =

2 cos2 ум

— 1 =

2

~

1.

i + t g ^

+ ц>3

т. е.

1— m2

(4.70)

1 + со2 •

Подставляя (4.70)

в (4.69), получим:

5 (ш) =а0-|-

( }+ ш,-) 4 «г (т'-Г^г) + +а*(г+Ь) *(4'71)

или, приводя к

общему

знаменателю и группируя

члены числителя

по возрастающим

степеням:

5(ш) =

Ь0Ч- бдО)2 +■■■-)- bnuflk

(4.72)

(1 + 0)3)*

Формула (4.72)

и

представляет собой искомое выражение для кри­

вой Д(ш) в виде дробно-рациональной функции.

Таким образом, изложенный метод сводит задачу приближения

заданной кривой

дробно-рациональной функцией

к обычной задаче

менной.

Кроме

того, для наших целей он неудобен еще и потому,

что связан с необходимостью вычисления корней числителя.

3.

Метод

приближения, основанный на замене логарифмич

L(a>)=101gloS(u)),

(4.73)

отрезков (см. рис. 1.18),

каждый

из

которых

имеет наклон в 6k

децибел на

октаву, где k — любое

целое

число.

В результате

первоначальная кривая

L ( ш) распадается на сумму

полубесконечных

логарифмических

характеристик,

аналогичных тем,

которые применяются (гл.

I, § 17) для

нахождения фазовой харак­

теристики,

соответствующей

заданной логарифмической амплитудной

Характеристике,

176

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

[ГЛ. IV

В2к

(4.74)

где со,— частота в точке сопряжения

горизонтальной и

наклонной

части полубесконечной логарифмической характеристики.

Действительно,

рассмотрим

функцию

£«(<■>)= l-f-ш 2*

(4.75)

и соответствующую

ей логарифмическую характеристику

Легко

видеть,

что

A2fr(co)=

101g(l +

со2*).

(4.76)

A2t (ю )л;0

при

<

1,

и

Л2Й(со)

20А lg со

при

с о » 1

(4.77)

Л2л (ш) =

10 lg 2

Ъдб

при

(-0 =

1 .

Из

(4.77)

следует,

что логарифмическая

характеристика вида

щей наклон в 6А децибел на

октаву.

Обе эти части

соединяются

плавной кривой, имеющей максимальное

отклонение

от полубеско­

нечной характеристики в точке

ш = 1,

равное 3 дб,

вне

зависимости

от значения А.

Примеры такого рода характеристик для А— 1, 2, 3, 4, 5 при­

ведены на рис. 4.20.

Следует заметить,

что эти кривые

симметричны

относительно точки

сопряжения

и что

за

2

пределами — октав в обе

Л „ ( ^ ) = 1 0 1 г [ | + ( ^ ) “ ] .

(4-78)

соответствующие точкам сопряжения со,, отличным от единицы,

будут

178

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

[ГЛ.

IV

имеет корни

aft , -----

но

— 1 =

ei* (1+аЭ = cos к (1 4 - 2v) -f. у sin тг (1 —j—2v)

и, следовательно,

\ =

е1 ^

=

cos !L(i +

24 +

• sin M l +

24

2k

^

уЬ

2k

(v =

0,

1 ,2 ......... k — 1).

Это

выражение графически можно

представить в виде векторов,

равных по модулю и сдвинутых друг относительно друга на угол

.

B^k (ш) —

Ch (yu>) С*ь(уш),

(4.81)

где функция Ск (уш) содержит

все

нули, расположенные

в верхней

полуплоскости, а функция С* (уш)

содержит все нули, расположен­