книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

4.Значение корреляционной функции R (т) при любом т не мож

превышать ее начального значения R (0), т. е.

Заметим, что неравенство (3.19) непосредственно следует из рас­ смотренного выше смысла функции R (т).

Выражением (3.12) формально можно пользоваться не только применительно к стационарным случайным функциям, но и примени­ тельно к обычным периодическим функциям. Это оказывается прак­ тически необходимым при экспериментальной обработке записей случайных функций.

В виде примера найдем «корреляционную функцию» для случая, когда

х (/) = a sin (со/ -f- ср),

понимая при этом под термином «корреляционная функция» просто результат применения к функции а (/) операции, выражаемой инте­ гралом (3.12).

Имеем:

Я(т) =х(0*(*-И)=

(3.20)

При достаточно большом Т с любой степенью точности можно

написать:

а2

R (т) = - у cos сот.

Мы видим, что функция R ( т) имеет тот же период, что и функ­ ция х (/), но в отличие от нее является четной и не зависящей от фазы ср.

124 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. III

для совокупности функций x T(i). В случае стационарного случай­ ного процесса совокупность функций x T{t) может быть получена из одной единственной реализации, если взять время наблюдения доста­ точно большим и разрезать реализацию на куски. Отсюда следует, что если заменить в силу свойства эргодичности математическое ожидание в (3.33) средним во времени на достаточно большом ин­ тервале изменения t, то вместо (3.33) можно написать

5 ( с о ) ^ Х т ( |/ с о ) | 2 . (3.34)

Соотношение (3.26) между корреляционной функцией и спектральной плотностью имеет исключительно большое значение для теории стацио­ нарных случайных процессов.

Значение этого соотношения прежде всего заключается в том, что оно позволяет определить функцию спектральной плотности S ( со) по заданной аналитически или в виде графика корреляционной функ­ ции R(~), или обратно, корреляционную функцию /?(т) по заданной функции спектральной плотности 5 (со).

Так, например, если

Я(т) = е-1"Ч

то

если

то

называют белым спектром. Предельный случай, когда S (ш) = const для всех со, соответствует отсутствию всякой корреляции между последующими значениями х. Следовательно, в этом случае

®2(*1. t{, хг, t2) = wi (xl, ty) w 2(x2, t2),

и мы имеем так называемый абсолютно случайный процесс.

Если 5 (со) имеет максимум при некоторой частоте шс и обладает

при условии, что ширина 5 (со) мала по сравнению с сос. Предполо­ жим, например, что 5 (со) = const в полосе частот 2 , содержащей частоту шс. Тогда

при условии, что 2 сой. Таким образом, корреляционная функция будет иметь характер затухающих колебаний с частотой шс.

Пользуясь соотношением (3.25), можно получить выражение для спектральной плотности также и в том случае, когда функция x(t), помимо случайной составляющей, содержит периодические члены или когда среднее значение этой функции отличается от нуля. Очевидно, что если функция х (t) содержит периодическую составляющую частоты (1>с, то при достаточно больших Т

2^ - 1Х т(ju>c) [2= оо

и спектральная плотность 5 (ш) имеет в точке ш = шс разрыв непре­ рывности. Если же х Ф.О, то функция S(w) будет иметь разрыв непрерывности в начале координат, т. е. при ш = 0.

сом. Примером могут служить шумы в радиоприемниках, по крайней мере до детекторного каскада, имеющего нелинейную характеристику. Эти процессы характеризуются тем, что все функции распределения вероятности w, о которых мы говорили в § 2, являются гауссовыми, или нормальными.

Предположим, что функция x(t) есть стационарная случайная функция с нормальным распределением. Рассмотрим некоторый доста­

говоря, отличающиеся от аналогичных коэффициентов для других функций совокупности. Следовательно эти коэффициенты являются случайными переменными. Предположим, что все они взаимно неза­ висимы, имеют нормальные распределения с нулевыми средними зна­